- •Математика
- •Введение
- •Студенты должны знать:
- •Приобрести практические навыки:
- •Содержание разделов дисциплины «Математика»
- •Раздел 1. Основы алгебры и анализа
- •Раздел 2. Интегральное исчисление. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ряды
- •Раздел 3. Теория вероятностей
- •Раздел 4. Численные методы и оптимизационные задачи
- •Контрольная работа № 1 включает задания по следующим темам:
- •Тема 1. Элементы линейной алгебры
- •Определители третьего порядка
- •Применение определителей к решению систем линейных уравнений
- •Решение систем линейных уравнений с – неизвестными
- •Рассмотрим решения типовых заданий по теме «Линейная алгебра»
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Линейная алгебра»
- •Тема 2. Элементы аналитической геометрии Прямоугольная декартова система координат на плоскости
- •Кривые второго порядка
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Аналитическая геометрия»
- •Тема 3. Введение в анализ Последовательность, предел последовательности
- •Предел функции
- •Основные теоремы о пределах функции
- •Некоторые приемы вычисления пределов функций
- •Имеем , тогда . Непрерывность функций
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Введение в анализ»
- •Тема 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Производная функции. Геометрический и механический смысл производной
- •Основные правила дифференцирования
- •Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Возрастание и убывание функций
- •Экстремумы функции
- •Точки перегиба. Выпуклость и вогнутость
- •Асимптоты плоских кривых
- •Построение графиков функций
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных Функции нескольких переменных
- •Понятие предела для функции двух переменных
- •Определение: Градиентом функции называется вектор с координатами , в точке . По определению
- •Экстремумы функций нескольких переменных
- •Вопросы для самопроверки по теме «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных»
- •Тема 6. Неопределенный интеграл Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •Простейшие свойства неопределенного интеграла
- •Основные приемы интегрирования
- •Общие приемы интегрирования
- •Интегрирование рациональных функций
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Неопределенный интеграл»
- •Тема 7. Определенный интеграл
- •Формула Ньютона-Лейбница
- •Тема 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Дифференциальное уравнение первого порядка
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения
- •Линейные уравнения
- •Уравнения -го порядка, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Дифференциальные уравнения»
- •Тема 9. Ряды Общие сведения
- •Свойства рядов
- •Ряды с неотрицательными членами
- •Знакопеременные ряды
- •Степенные ряды. Интервал сходимости степенного ряда
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Ряды»
- •Тема 10. Элементы Теории вероятностей Формулы комбинаторики
- •Совместные и несовместные события
- •Случайные величины
- •Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •Непрерывные случайные величины
- •Математическое ожидание и дисперсия. Мода и медиана
- •Вопросы для самопроверки по теме «Теория вероятностей»
- •Тема 11. Комплексные числа Основные понятия
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Комплексные числа»
- •Тема 12. Элементы линейного программирования Общая постановка задачи
- •Решение систем линейных неравенств с двумя переменными
- •Графический метод. Выбор оптимального варианта
- •Алгоритм симплексного метода
- •Транспортная задача
- •Метод потенциалов
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Линейное программирование»
- •Контрольная работа № 1 (первый семестр)
- •Контрольная работа № 2 (второй семестр)
- •Контрольная работа № 3 (третий семестр)
- •Контрольная работа № 4 (четвертый семестр)
- •Методические указания по выполнению и оформлению контрольных работ
- •Формы и содержание отчетности студентов
- •Вопросы к экзамену (1 семестр)
- •Вопросы к зачету (2 семестр)
- •Вопросы к зачету (3 семестр)
- •Вопросы к экзамену (4 семестр)
- •Список литературы
- •Математика
- •1 62600, Череповец, ул. Сталеваров, 44
Решение систем линейных уравнений с – неизвестными
Система – линейных уравнений с – неизвестными , , … может быть записана в общем виде так: (1)
Где – коэффициенты, – свободные члены ( – номер строки, – номер столбца). Соответствующий определитель запишем так:
Определение: Минором любого элемента этого определителя называется определитель -го порядка, соответствующий матрице, полученной из данной вычеркиванием строки и столбца, в которых лежит указанный элемент. Минор элемента будем обозначать .
Определение: Алгебраическим дополнением любого элемента определителя называется его минор , взятый со знаком числа .
Алгебраическое дополнение элемента будем обозначать . Таким образом,
Можно доказать теорему: Если определитель системы (1) отличен от нуля, то эта система совместна и определена, причём её единственное решение может быть найдено по формулам Крамера: ; ; …, .
Если же , то система либо не совместна, либо имеет бесчисленное множество решений.
Пример 8. Решить систему уравнений:
Система совместна, т.к.
Вычисляя , , , , получаем:
Следовательно, , , , – решение системы.
Другим эффективным методом решения систем линейных уравнений является метод исключения неизвестных, называемый также методом Гаусса. Он состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему специального вида, которая легко исследуется и решается.
С помощью элементарных преобразований любую систему линейных уравнений можно преобразовать так, чтобы некоторое фиксированное неизвестное , сохранившись в одном уравнении системы, исключалось из любого другого. Для этого достаточно подобрать соответствующее значение множителя для каждого уравнения, из которого выбранное неизвестное исключается. Такое преобразование системы линейных уравнений называется исключением неизвестного .
Пример 9. Решить систему линейных уравнений:
Примем за первое ведущее уравнение первое уравнение системы, за первое ведущее неизвестное – ; первым ведущим элементом будет . Исключим из 2-го и 3-го уравнений, прибавив к ним ведущее уравнение, умноженное соответственно на и . Получим:
За второе ведущее уравнение примем второе уравнение системы, а за второе ведущее неизвестное – , вторым ведущим элементом будет . Исключим из третьего уравнения, получим:
обратным ходом получаем
Решением данной системы будет: , , . В данном случае , решение единственное.
Если же ранг системы меньше числа неизвестных ( ), то система имеет много решений.
Рассмотрим решения типовых заданий по теме «Линейная алгебра»
Задание 1.
Даны две матрицы и . Найти: а) ; б) ; в) ; г) .
Решение:
а) Произведение имеет смысл, так как число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Находим матрицу , элементы которой определяются по формуле
Имеем
б) Вычислим
Очевидно, что ;
в) Матрица называется обратной по отношению к матрице , если , где – единичная матрица
Обратная матрица матрицы имеет вид , где
, т.е. матрица невырожденная, и, значит, существует матрица . Находим: , ,
, , , ,
, , .
Тогда
г) Имеем:
=
Задание 2.
Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить её:
а) по формулам Крамера;
б) методом Гауса.
Решение:
Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера-Капелли. С помощью элементарных преобразований найдём ранг данной матрицы
и ранг расширенной матрицы .
Для этого умножим первую строку матрицы на и сложим со второй, затем умножим первую строку на и сложим с третьей, поменяем местами второй и третьи столбцы.
Получим:
~ ~ .
Следовательно, , т.е. числу неизвестных. Значит, исходная система совместна и имеет единственное решение.
а) по формулам Крамера
; ;
, , ,
, находим ; .
б) Решим систему методом Гаусса.
Исключим из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на и вычтем из второго, затем первое уравнение умножим на и вычтем из третьего:
Из полученной системы находим
; ;
Задание 3.
Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить её:
а) по формулам Крамера;
б) методом Гаусса.
Решение:
Проверяем совместность системы с помощью теоремы Кронекера-Капелли. В расширенной матрице меняем третий и первый столбцы местами, умножаем первую строку на и прибавляем ко второй, умножаем первую строку на и прибавляем к третьей, из второй строки вычитаем третью:
~ ~ ~
, .
Согласно теореме Кронекера-Капелли из того, что следует несовместность исходной системы.
Задание 4.
Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.
Решение:
Определитель системы , поэтому система имеет единственное нулевое решение:
Задание 5.
Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.
Решение:
Т.к. , то система имеет бесчисленное множество решений. Поскольку , , возьмём любые два уравнения системы (например, 1-е и 2-е) и найдем её решение. Имеем:
Т.к. определитель из коэффициентов при неизвестных и не равен , то в качестве базисных неизвестных возьмём и (хотя можно брать и другие пары неизвестных) и переместим члены с в правые части уравнений:
Решаем последнюю систему по формулам Крамера:
, , .