Определение: Градиентом функции называется вектор с координатами , в точке . По определению
Пример 2. Найти частные производные функций
а) 
При дифференцировании
по
считаем постоянной величину
:
При дифференцировании
по
,
следовательно,
б) 
Четные производные
1го порядка имеют вид
,
.
Частные производные
по
и по
от функций
и
второго порядка от функции
в этой точке и обозначаются следующим
образом:
,
,
,
,
Частные производные второго порядка зависят от координат точки, в которой они вычисляются, т.е. в свою очередь, являются функциями двух переменных, определенными в области или в её части.
Смешанные частные производные данной функции, отмечающиеся лишь последовательностью произведенных дифференцирований, совпадают друг с другом.
Пример 3. Найти
частные производные II
порядка для функции
.
Находим производные I порядка по и по :
,
.
Найдем частные производные II порядка:
,
,
и
.
Теорема: Если
в некоторой окрестности точки
функция
имеет частные производные
и
и эти производные непрерывны в самой
точке
,
то они в этой точке равны:
.
Экстремумы функций нескольких переменных
Определение: Точка
называется точкой максимума функции
,
если всюду в некоторой окрестности этой
точки
.
Определение: Точка
называется точкой минимума функции
,
если всюду в некоторой окрестности этой
точки
.
Точки максимума и минимума функции называются её точками экстремума. Значения функции в точках максимума и минимума называются соответственно максимумами и минимумами, или, короче, экстремумами, этой функции.
Необходимые условия экстремума функции двух переменных:
Если функция
в точке
имеет экстремум, то в этой точке либо
обе её частные производные первого
порядка равны нулю:
,
,
либо хотя бы одна из этих частных
производных не существует.
Будем называть критическими точками функции точки, в которых обе частные производные первого порядка одновременно равны нулю или хотя бы одна из этих производных не существует.
Экстремумы функции в данной области являются её критическими точками. Однако не всякая критическая точка функции будет её точкой экстремума. Для нахождения экстремумов функции в данной области надо всякую критическую точку функции в этой области подвергнуть дополнительному исследованию.
Наиболее употребительные достаточные условия экстремума для функции двух переменных формируются следующим образом:
Пусть в окрестности критической точки функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражения
,
,
.
Тогда:
1) если
,
то в точке
функция
имеет экстремум:
максимум, если
,
и минимум, если
;
2) если
,
то в точке
функция
экстремума не имеет.
В случае, когда , экстремум в точке может быть, может и не быть. В дальнейшем будем называть – дискриминантом.
Пример 4. Найти
экстремумы функции
.
Данная функция определена повсюду.
Найдем её производные первого и второго порядков.
,
,
,
,
.
Для определения критических точек функции решаем систему уравнений:
т.е.
Она равносильна совокупности двух систем уравнений:
Получаем токи
,
,
,
.
Частные производные второго порядка
, , – непрерывны всюду.
Для каждой критической точки вычисляем соответствующее значение дискриминанта:
1)
:
;
;
;
В точке экстремума нет.
2)
:
;
;
;
В точке экстремума нет.
3)
:
;
;
;
В точке экстремума нет.
4)
:
;
;
;
В точке
функция имеет экстремум.
,
– точка максимума. Исследуя функцию на
экстремум, мы нашли четыре критические
точки, из которых лишь одна является
точкой экстремума. Было установлено,
что в этой точке функция имеет максимум,
причем
.
Пример 5. Фирма
производит товар двух видов в количествах
и
.
Задана функция полных издержек
.
Цены этих товаров на рынке равны
и
.
Определить, при каких объемах выпуска
достигается максимальная прибыль, найти
эту прибыль.
Решение:
Пусть – функция прибыли, тогда
.
Найдём первые частные производные функции :
;
;
Найдём критические точки графика функции . Для этого решим систему:
Следовательно
–
критическая точка. Проверим её на
экстремум, для этого введем обозначения:
,
,
,
тогда
,
,
,
дискриминант
.
Т.к.
,
то экстремум есть, а т.к.
,
то это максимум.
Следовательно,
при объемах выпуска
и
,
достигается максимальная прибыль
равная:
достигается при
объёмах выпуска
и
.