Глава 7. Механика Лагранжа

7.1.Обобщенные координаты, связи, число степеней свободы.

Обобщенные координаты- параметры любой размерности , которые

точно (либо с достаточной степенью точности) описывают положение тела.

Обобщенными скоростями называются производные ,

Так, положение точки задается тремя координатами, твердого тела – шестью.

Ограничения, налагаемые на положения и скорости точек тела окружающими телами,

называются соответственно позиционными (геометрическими) и кинематическими связями.

Связями .называют и сами тела, обеспечивающие ограничения. Аналитические выражения,

описывающие ограничения, называют уравнениями связей.

Если уравнения связей содержат только координаты, связи называются голономными;

разумеется, голономными являются и интегрируемые кинематические связи.

Неинтегрируемые кинематические связи называются неголономными.

Число независимых обобщенных координат ( называется числом степеней

свободы по положению, а число независимых обобщенных скоростей – числом степеней

свободы по скоростям.

Рассмотрим некоторые простые примеры.

Z 1. Точка движется по поверхности

Три обобщенные координаты ,

Y одно уравнение голономной связи(уравнение поверхности)

X .

Число степеней свободы

2. Качение диска.

Две обобщенные координаты ,

одно уравнение кинематической связи - условие отсутствия

проскальзывания .

Уравнение связи интегрируется: ,следовательно

связь голономная и число степеней свободы .

y 3. Движение конька

Считаем, что лезвие конька касается льда в одной точке А

А  и скорость точки касания направлена вдоль лезвия.

X Три обобщенные координаты ( ), т.е три степени

свободы по положению; одна кинематическая неинтегрируемая, то есть неголономная

связь - условие отсутствия бокового скольжения :

или .

Таким образом, конек имеет две степени свободы по скоростям.

y 4. Изгиб стержня с шарнирными опорами.

////// ////// x

Стержень- деформируемое тело с бесконечным числом степеней свободы. Для описания

его изгиба можно взять в качестве обобщенных координат коэффициенты в

представлении , которое удовлетворяет краевым условиям - равенству

нулю прогибов и моментов в шарнирных опорах. Разумеется, этот подход приближенный

и соответствует описанию положения « с достаточной степенью точности».