5.2.5. Эллипсоид инерции.

Тензору инерции, как и всякому симметричному тензору, можно сопоставить наглядный

геометрический объект – так называемую тензорную поверхность.

Пусть тензор инерции в точке В. Построим квадратичную форму и приравняем ее единице:

(5.30)

Это уравнение поверхности, описываемой вектором с началом в точке В, которая для

положительного тензора является эллипсоидом. Действительно, записывая в

главных осях, получим:

или, в каноническом виде

(5.31)

Уравнение (5.31) – уравнение эллипсоида с полуосями, равными

Так как протяженное в каком-либо

направлении тело имеет относительно Z

оси, совпадающей с этим направлением,

наименьший момент инерции, то M

эллипсоид инерции приблизительно

повторяет форму тела. B  Y

1. Найдем момент инерции

относительно оси , задаваемой

вектором .

Имеем X

, откуда

2. Вычислим дифференциал от уравнения (5.30):

, отсюда следует, что вектор перпендикулярен к эллипсоиду,

поскольку вектор лежит в касательной плоскости к поверхности.

Кинетический момент тела, вращающегося вокруг точки В, равен , поэтому

направлен по нормали к поверхности эллипсоида в точке его пересечения с

мгновенной осью вращения, проведенной через точку В.

3. Если тело обладает осью симметрии «N» - го порядка, т.е. переходит «само в себя»

при повороте на угол ( рис.5.3в ), то «вмороженный» в него эллипсоид

инерции обладает тем же свойством и, следовательно, является эллипсоидом вращения с

равными полуосями; т.е. тензор инерции трансверсально-изотропный.