4.2.5 . Тензор спина, вектор угловой скорости, формула Пуассона.

Дифференцируя по времени уравнение , получим

или, обозначив : ,

то есть тензор = , называемый тензором сп на - кососимметричный , поэтому он

может быть записан в виде (1.10) :

, где (4.20)

называется вектором угловой скорости. Вектор задает ось вращения.

Исходя из представления Эйлера (4.18) можно прямым вычислением из (4.20) получить

(4.21)

Из (4.21) видно, что ось поворота и ось вращения совпадают только когда ось поворота

неподвижна ( , тогда .

Умножив равенство справа скалярно на , получим формулу Пуассона

. (4.22)

4.2.6.Теорема о сложении угловых скоростей

Теорема. Если тензор поворота является композицией (произведением) поворотов

, то

, где - (4.23)

угловые скорости, соответствующие тензорам поворота .

Доказательство. Докажем сначала лемму:

Пусть – тензор поворота, – произвольный тензор, тогда

, (4.24)

« векторный инвариант повернутого тензора равен повернутому векторному инварианту».

Доказательство леммы немедленно следует из тождества #3 (1.15)

,в котором достаточно положить .

Впрочем, лемма имеет простой геометрический смысл. Примем в качестве одну диаду

( в лемму тензор входит линейно). Пусть векторы преобразуются

тензором в = , = , = . Поскольку тройка поворачивается как жесткая

система, то т.е. )= ) или .

Вычисляя теперь тензор спина

+ =

и сопутствующие векторы левой и правой частей с помощью леммы (4.24) получим (4.23).

Упражнение. Показать, что если ,то

Дифференцируя (4.23), получим формулу сложения угловых ускорений

.

Заменив по формуле Пуассона = , будем иметь

= или, заметив, что

= (4.25)

Замечание.

Практически во всех учебниках не дается строгого определения угловой скорости, это понятие

остается затененным интуитивными соображениями (кроме случая фиксированной оси

поворота, когда ). Доказываются «теоремы» о том, что « можно переносить вдоль

оси поворота», что угловые скорости можно складывать, если тело вращается вокруг

параллельных либо пересекающихся физических осей, но не рассматривается случай, когда оси не пересекаются и т.д. и т.п.

Теорема сложения угловых скоростей всегда приводится в виде . Очевидно, что под здесь понимается