4.2.7. Примеры вычисления вектора угловой скорости.

1. Углы Эйлера

Рис. 4.9 Рис 4.10.

линия узлов

Традиционно углы Эйлера вводятся следующим образом. Переход из отсчетного

положения в актуальное осуществляется тремя поворотами (рис.4.9):

1. Поворот вокруг на угол прецессии При этом переходит в положение ,( в ).

Этот поворот описывается тензором

2. Поворот вокруг на угол нутации . При этом , .

Этот поворот описывается тензором

4. Поворот вокруг на угол собственного (чистого) вращения – тензор .

Таким образом, результирующий тензор поворота равен

(4.26)

Для наглядности на рис.4.10 изображен волчок и углы Эйлера, описывающие его ориентацию.

Покажем, что традиционная последовательность поворотов (4.26) может быть заменена

на последовательность поворотов на те же самые углы вокруг неподвижных осей:

1. Поворот вокруг на угол собственного (чистого) вращения

2. Поворот вокруг на угол нутации . .

4. Поворот вокруг на угол прецессии

Поскольку , то по теореме (4.19)

,

.

Подставляя эти выражения в (4.26), получим с учетом ) )

. (4.27)

Разумеется, преимущество (4.27) по сравнению с (4.26) в том, что оси поворотов неподвижны.

Вектор угловой скорости по теореме о сложении угловых скоростей (4.23) равен

.

Это же (правильное) выражение обычно получают из (4.26), применяя правдоподобные

рассуждения о сложении « бесконечно малых» поворотов; применив их к другой

последовательности поворотов, например (4.27), получим абсолютно неверный результат

.

Из (4.27) видно, что при малом угле нутации , когда тензор поворота

- углы и в линейном приближении становятся

неразличимы и входят в уравнения в виде суммы ( + . В этом неудобство углов Эйлера.