27 Линейные однородные дифференциальные уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Если предположить, что решение уравнения y '' + a y ' + b y = 0 имеет вид y = e^kx, то, подставив это соотношение в уравнение, получаем E^kx ( k^2 + a k + b ) = 0.

Если мы хотим, чтобы y = e^kx было решением, необходимо, чтобы параметр k был решением квадратного уравнения K^2 + a k + b = 0,

которое называется характеристическим, соответствующим данному дифференциальному уравнению.

Характер решения характеристического уравнения зависит от дискриминанта D = a^2 - 4·b.

Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если дискриминант характеристического уравнения положительный

В этом случае корни характеристического уравнения действительные и различные k1 ≠ k2. Тогда решением этого уравнения можно принять , . Эти решения являются линейно независимыми, так как их определитель Вронского для них не равен нулю

Используя теорему о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения, получим в этом случае общее решение в виде

.

Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если дискриминант характеристического уравнения отрицательный

В этом случае корни характеристического уравнения комплексные k = α ± ω i. Воспользовавшись формулой Эйлера

E^iω = cos ω + i sin ω

где i2 = - 1 — мнимая единица, получим комплексные решения рассматриваемого уравнения

y1,2 = e^αx (cos ω x ± i sin ω x).

Теорема. Если уравнение линейного однородного дифференциального уравнения имеет комплексное решение у = u(x)+i·v(x), то действительная и мнимая части этого решение являются тоже решением.

Доказательство. Пусть уравнение y '' + a y ' + b y = 0 имеет комплексное решение у = u(x) + i·v(x). В этом случае выполняется тождественно

(u + i v) '' + a (u + i v) ' + b (u + i v) ≡ 0.

Воспользовавшись правилами дифференцирования и выделяя действительную и мнимую части, получим

(u '' + a u ' + b u) + i (v '' + a v ' + b v) ≡ 0.

Комплексное выражение равно нулю тогда, когда действительная и мнимая части этого выражения равны нулю

u '' + a u ' + b u ≡ 0 и v '' + a v ' + b v ≡ 0.

Что и требовалось доказать.

Учитывая это можно считать, что

y1 = u = e^αx cos ω x и y2 = v = e^αx sin ω x

Эти решения являются линейно независимыми, так как определитель Вронского для этой системы функций не равен нулю

Поэтому в силу теоремы о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения имеем

y1,2 = eα x (C1 cos ω x + i C2 sin ω x).

Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если дискриминант характеристического уравнения равен нулю

В данном случае корни характеристического уравнения k1 и k2 равные действительные числа. В этом случае Первое частное решение запишем в виде

.

Второе частное решение найдём из условия, которому удовлетворяет определитель Вронского для этого уравнения

W = W0·e^-ax.

При этом будем предполагать, что W0 = 1. Это уравнение в развёрнутой форме имеет вид

y1·y2' - y1'·y2 = e^-ax.

Разделив обе части на y1^2, получим

или

Интегрируя последнее соотношение с учётом

,

получим

Так как эти функции линейно независимы, то общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид

y = (C1 + C2 x) e^kx.