14) Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Уравнения первого порядка n-ой степени относительно производной y'

Пусть имеем дифференциальное уравнение

(1) Решаем это уравнение относительно  . Пусть

— вещественные решения уравнения (1).

Общий интеграл уравнения (1) выразится совокупностью интегралов:

где   есть интеграл уравнения  .

Таким образом, через каждую точку области, в которой   принимает вещественные значения, проходит  интегральных линий.

2°. Уравнения вида f(y,y')=0 и f(x,y')=0

Если уравнения   и   легко разрешимы относительно  , то, разрешая их, получим уравнения с разделяющимися переменными. Рассмотрим случаи, когда эти уравнения не разрешимы относительно  .

А. Уравнение вида   разрешимо относительно  :

Полагаем  , тогда  . Дифференцируя это уравнение и заменяя   на  , получим

 откуда   или  Получаем общее решение уравнения в параметрической форме

(6)

Б. Если уравнение вида   неразрешимо (или трудно разрешимо) как относительно  , так и относительно  , но допускает выражение   и   через некоторый параметр  :

то поступаем следующим образом. Имеем  . С другой стороны,  , так что   и  ; отсюда

Таким образом, получаем общее решение данного дифференциального уравнения в параметрической форме

В. Уравнение вида  . Пусть это уравнение разрешимо относительно  , то есть  .

Полагая  , получим  . Но   и, следовательно,  , так что

 и 

Таким образом   — общее решение уравнения в параметрической форме (  — параметр).

Замечание. В формулах нельзя рассматривать   как производную. В них   является просто параметром.

3°. Уравнения Лагранжа и Клеро

Уравнение Лагранжа имеет вид

Полагая  , дифференцируя по   и заменяя   на  , приводим это уравнение к линейному относительно   как функции  . Находя решение этого последнего уравнения  , получаем общее решение исходного уравнения в параметрической форме:

 ( —параметр).

Кроме того, уравнение Лагранжа может иметь еще особые решения вида  , где   — корень уравнения  .

Уравнение Клеро имеет вид  .

Метод решения тот же, что и для уравнения Лагранжа. Общее решение уравнения Клеро имеет вид

Уравнение Клеро может иметь еще особое решение, которое получается исключением   из уравнений  .

15

Геометрическое и механическое истолкование уравнения второго порядка и его решения

Рассмотрим более подробно вопрос, о геометрическом истолковании уравнения второго порядка и его решения.

Уравнение второго порядка имеет общий вид

F (x, y, y ', y '') = 0. (8.1)

Его всегда можно переписать так:

= 0. (8.2)

Так как кривизна кривой y = y(x) в точке (x, y), то из формулы (8.2) видно, что всякое дифференциальное уравнение второго порядка выражает некоторое общее свойство его интегральных кривых y = y(x), устанавливая в каждой точке интегральной кривой зависимость между координатами точки, наклоном касательной к интегральной кривой и кривизной интегральной кривой в этой точке.

Рассмотрим теперь вопрос о механическом истолковании уравнения второго порядка и его решений. Пусть материальная точка массой m движется по прямой, которую примем за ось x, под действием силы F (t, x, ), зависящей от времени t, положения x и скорости в момент времени t. Тогда согласно второму закону Ньютона имеем

m = F (t, x, ), (8.3)

где есть ускорение точки в момент времени t. Перепишем уравнение (8.3) в виде

= f (t, x, ), (8.4)

где f = .

Всякому решению

x = x(t) (8.5)

соответствует, как и в случае уравнения первого порядка, определенный закон движения. Поэтому часто решение (8.5) называют движением, определяемым уравнением (8.5). Задача, теории интегрирования уравнения (8.4) состоит в нахождении всех движений, определяемых этим уравнением, и изучении их свойств. Так как уравнение (8.4) удается проинтегрировать в конечном виде лишь в редких случаях, то весьма важно уметь устанавливать свойства движений, определяемых этим дифференциальным уравнением непосредственно по свойствам самого дифференциального уравнения.

Постановка задачи Коши для уравнения n-го порядка

Для уравнения n-го порядка

f (x, y, y ', …, y (n)) = 0 (8.6)

(n > 1) задача Коши ставится так: найти решение

y = y(x) (8.7)

удовлетворяющее начальным условиям (условиям Коши)

y = y0, y ' = , …, y (n – 1) = при x = x0, (8.8)

где x0, y0, , …, — заданные числа (начальные данные решения (8.7). В отличие от уравнения первого порядка здесь при заданном значении независимой переменной задается значение не только искомой функции, но и ее производных до порядка на единицу ниже, чем порядок дифференциального уравнения.

В частности, для уравнения второго порядка (8.1) начальные условия (8.8) принимают вид

y = y0, y ' = при x = x0.

Геометрически речь идет о нахождении интегральной кривой y = y(x), проходящей через заданную точку M0 (x0, y0) и имеющей в этой точке касательную M0T, которая образует с положительным направлением оси x заданный угол α0:

tg α0 = .

Наряду с задачей Коши большое значение имеет задача, в которой условия на искомую функцию (и ее производные) налагаются не к одной точке, а на концах некоторого промежутка. Такая задача называется краевой задачей, а налагаемые условия — краевыми условиями.

16

Теорема существования и единственности решения уравнения n-го порядка

Рассмотрим уравнение n-го порядка в нормальной форме

y (n) = f (x, y, y ', …, y (n – 1)). (8.9)

Для этого уравнения, как и в случае уравнения первого порядка, имеет место следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Теорема Пикара. Если правая часть уравнения (8.9) непрерывна в некоторой окрестности начальной точки (x0, y0, , …, ) и имеет непрерывные в этой окрестности частные производные по y, y ', …, y (n – 1) то оно имеет единственное решение (8.7), удовлетворяющее начальным условиям (8.8).

Случай линейного уравнения. Выбор начальных данных. Интервал существования решения

Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка

y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x). (8.10)

Предположим, что все коэффициенты p1, …, pn и правая часть f (x) заданы и непрерывны в интервале (a, b). Тогда условия сформулированной выше теоремы Пикара заведомо выполняются в окрестности начальной точки (x0, y0, , …, ), где x0 ∈ (a, b), а y0, , …, — любые заданные числа. Поэтому для линейного уравнения (8.10) имеет место следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Теорема. Если функции p1, …, pn и f (x) непрерывны в интервале (a, b), то уравнение (8.10) имеет единственное решение (8.7), удовлетворяющее начальным условиям (8.8), причем y0, , …, можно задавать произвольно, а x0 можно брать любым из интервала (a, b).

Можно доказать, что решение (8.7) определено во всем интервале (а,b).

В частности, если функции p1, …, pn и f (x) — полиномы (или другие функции, непрерывные при всех x), то все начальные данные y0, , …, можно задавать произвольно. Решение существует, единственно и определено при всех x.

Если функции p1, …, pn, f (x) суть рациональные функции, т. е. являются отношениями полиномов

(8.11)

то при постановке задачи Коши начальные значения y0, , …, можно задавать любыми, а можно брать любым, кроме действительных нулей знаменателей Q1, …, Qn, Qn + 1. Решение с такими начальными данными будет заведомо определено в окрестности точки x0, не содержащей нулей знаменателей Q1, …, Qn, Qn + 1.

№17 Понятие об ощем и частном решении

Общее решение Коши:рассмотрим область D изменения переменных x,y, y' в каждой точке которой имеет место существование и единственность решения задачи Коши.Рассмотрим ф-ию y= φ(x, ), которая определена в некоторой области и имеет частные производные по x до порядка n (включительно).Данная функция будет называться общим решением ,… ) (5),если система уравнений

(6) разрешима в области D,относительно произвольных постоянных , …. из этих (7).Ф-ия (6) являетсярешением уравнения (5) при всех значениях , …. ,вычисляемым по формулам (7).Общее решение (6) содержит в себе все решения уравнения (5) с начальными данными из области D

-общее решение Коши.Ф -общий интеграл

Частное решение: уравнение (5)называется частным ,если в каждой его точке сохраняется единств.решения задачи Коши.

Уравнение n-ого порядка неразрешенное относительно старшей производной

Рассмотрим уравнение F ,… )=0 общего вида и предположим,что оно разрешимо в элементарных функциях относительно так,что мы получаем 1 или несколько уравнений вида : ,… ).Если эту систему проинтегрировать в общем виде,то полученную совокупность решений будем называть общим интегралом уравнения F ,… )=0 .