21)Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго

порядка

Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

(18.1)

Где p(х), q(х), f(х) - заданные, непрерывные на (а,b) функции. Определение. Уравнение

у"+р(х) у' +q(х)у = 0, (18.2)

левая часть которого совпадает с левой частью линейного неоднородного дифференциального уравнения (18.1), называется соответствующим ему однородным уравнением.

Теорема 18.1. (структура общего решения линейного неоднородного

дифференциального уравнения). Общим решением у уравнения (18.1) является сумма его произвольного частного решения у* и общего решения соответствующего однородного уравнения (18.2), т.е.

у = у*+ (18.3)

Доказательство:

Убедимся, что функция (18.3) - решение уравнения (18.1). Так как у* есть решение уравнения (18.1), а - решение уравнения (18.2), то

(у*)’+р(х)(у*)’q(х)у* =f(х) и ( )"+p(х)( )'+q(х) =0.

В таком случае имеем:

(у*+ )"+р(х)(у*+ )’+q(x) (у*+ = ((у*)"+р(х)(у*)'+q(х)y*) + (( )"p(х)( )'+q(х) )= +0=

Это означает, что функция (у*+ является решением уравнения (18.1). Покажем теперь, что функция

y=у*+ (18.4)

является общим решением уравнения (18.1). Для этого надо доказать, что из решения (18.4) можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

(18.5)

Продифференцировав функцию (18.4) и подставив начальные условия

(18.5) в функцию (18.4) и ее производную, получим систему уравнений:

где у₀= у(х₀), = у' (х₀), с неизвестными . Определителем этой системы является определитель Вронского W(х₀) для функций (х) и у₂(х) в точке х - х₀. Функции (х) и у₂(х) линейно независимы (образуют фундаментальную систему решений), т.е. W(х₀) 0. Следовательно, система имеет единственное решение:

Решение у = у*+ х) + (х) является частным решением уравнения (18.1), удовлетворяющим начальным условиям (18.5)

Теорема о наложении решений

При нахождении частного решения ЛНДУ справедлива теорема о наложении решений:

Если правая часть уравнения y”+P(x)y’+q(x)y=f(x) представляет собой сумму 2х ф-ий f(x)=f₁(x)+f₂(x), а у₁* и у₂*-частные решения уравнений y”+P(x)y’+q(x)y=f₁(x) и y”+P(x)y’+q(x)y=f₂(x) соответственно, то функция у*=у₁*+у₂* является решением данного ур-ния.

Док-во: подставим у₁*+у₂* в данное уравнение, получим (у₁*+у₂*)”+P(x)( у₁*+у₂*)’+q(x)( у₁*+у₂*)=[(y₁*)”+P(x) (y₁*)’+q(x)( y₁*)]+[(y₂*)”+P(x)( y₂*)’+q(x)(y₂*)]=f₁(x)+f₂(x)=f(x)

22-Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

(18.1) Его общим решением является функция у = у*+ (18.3).

Частное решение у* уравнения (18.1) можно найти, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения у"+р(х) у' +q(х)у = 0 (18.2), методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа), состоящем в следующем.

Пусть = - общее решение уравнения (18.2).

Запишем в общем решении постоянные и неизвестными функциями и и подберем их так, чтобы функция у* = С₁(x)у₁(x) + С₂(x)у₂(x) (18.6)

была решением уравнения (18.1). Найдем производную

(У*) '= + + + . Подберем функции и С₂(х) так, чтобы

(18.7)

Тогда

(у*)' = +

(у*)"= + . Подставляя выражение для у*, (у*)', (у*)" в уравнение (18.1), получим:

+ ,

Поскольку и - решения уравнения (18.2), то выражения в

квадратных скобках равны нулю, а потому

+ (18.8)

Таким образом, функция (18.6) будет частным решением у* уравнения (18.1), если функции и удовлетворяют системе уравнений (18.7) и (18.8):

(18.9)

Определитель системы

т.к. это определитель Вронского для фундаментальной системы частных

решений и уравнения (18.2). Поэтому система (18.9) имеет

единственное решение:

где и - некоторые функции от x. Интегрируя эти функции,

находим и , а затем по формуле (18.6) составляем частное решение уравнения (18.1).

23.Интегрирование однородного диф. Уравнения 2-го порядка с пост. Коэф. Методом эйлера.

Частным случаем линейных однородных дифференциальных уравнений являются линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Пусть дано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

, (1.3.3)

где и - вещественные числа. Будем, следуя Эйлеру, искать частное решение уравнения (1.3.3) в виде

, (1.3.4)

где - подлежащее определению число (вещественное или комплексное). Согласно определению решения функции (1.3.4) будет решением уравнения (1.3.3), если выбрано так, что функция (1.3.4) обращает это уравнение в тождество

. (1.3.5)

Вычисляя , т.е. подставляя функцию (1.3.4) в левую часть уравнения (1.3.4), и принимаю во внимание, что

, (1.3.6)

будем иметь

,

так что

(1.3.7)

или

где

.

Из (1.3.7) следует, что интересующее нас тождество (1.3.5) будет выполнятся тогда и только тогда, когда , т.е. когда является корнем уравнения

. (1.3.8)

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами уравнения (1.3.3).

Заметим, что характеристическое уравнение (1.3.8) может быть составлено по данному дифференциальному уравнению (1.3.3) заменой , и на , и 1, т.е. степень совпадает с порядком производной, если условиться считать, что производная нулевого порядка от функции есть сама функция .

Структура фундаментальной системы решений, а вместе с ней и общего решения уравнения (1.3.3) зависит от вида корней характеристического уравнения (1.3.8).

Рассмотрим сначала случаи, когда эти корни различные и вещественные. Обозначим их через и . Тогда, подставляя в формулу (1.3.4) вместо числа и , получим два частных решения уравнения (1.3.3)

, . (1.3.9)

Эти решения, очевидно, линейно независимы, так как их отношение

не равно тождественно постоянной величине. В линейной независимости решений (1.3.9) можно убедиться также при помощи определителя Вронского. Имеем

.

Следовательно, частные решения (1.3.9) образуют фундаментальную систему решений. А тогда общим решением уравнения (1.3.3) будет

.

_{Пример 1.} Рассмотрим уравнение

Характеристическим уравнением будет Его корни , (вещественные и различные). Поэтому фундаментальная система решений имеет вид , ,а общим решением будет .

24. Интег. однор. Диф. Уравнения. С пост коэф. П-го порядка методом эйлера.

Рассмотрим линейное уравнение n-ого порядка

(1)

где коэффициенты суть вещественные числа, а правая часть непрерывна в некотором интервале .

Так как интегрирование неоднородного линейного уравнения приводится к интегрированию соответствующего однородного уравнения, то рассмотрим сначала вопрос о построении общего решения однородного уравнения

. (2)

Для нахождения общего решения этого уравнения достаточно знать фундаментальную систему решений. Так как коэффициенты уравнения постоянны и, следовательно, заведомо непрерывны при всех значениях x, то согласно теореме Пикара и все решения уравнения (2) определены при всех значениях x. Поэтому в дальнейшем мы не будем указывать ни интервал существования частных решений, ни область общего решения.

Эйлер доказал, что для однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами всегда можно построить фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных функций, и, следовательно, это уравнение всегда интегрируется в элементарных функциях.