9. Интегрирование ду 1-го порядка: уравнение, не содержащее искомой функции; уравнение, не содержащее независимой переменной.

Уравнения, не содержащие искомой функции

Рассмотрим уравнения вида

(2)

С помощью замены , где u - новая неизвестная функция, уравнение (2) приводится к уравнению (n-k) -го порядка:

.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

В это уравнение явно не входит неизвестная функция. Следовательно, полагая , получим дифференциальное уравнение первого порядка

Разделяя переменные и интегрируя, имеем

Переходя к старым переменным, получим дифференциальное уравнение

интегрируя которое, получим:

2.Уравнения, не содержащие независимой переменной.

Рассмотрим уравнения вида (3) .

С помощью замены (где p=p(y) - новая искомая функция независимая переменная) порядок уравнения (3) понижается на единицу, так как

..........................................................

Данная подстановка дает уравнение (n-1) - го порядка относительно новой неизвестной функции p:

При осуществлении такой замены возможна потеря решения y=const. Непосредственной подстановкой необходимо проверить наличие у уравнения (3) решений такого вида.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение.

Уравнение не содержит явно переменную x, делая замену , уравнение запишется в виде

Отсюда находим . Из первого из двух последних уравнений получаем y=C, а из второго имеем , или , откуда

Интегрируя, находим

.

Окончательно имеем

Где С₁ - новая произвольная постоянная.

10. Интегрирование ду 1-го порядка: уравнение с разделёнными переменными; уравнение с разделяющими переменными.

Если в уравнении (1) , то это уравнение с разделяющимися переменными. Его можно записать в симметричном виде:

Решения уравнения с разделяющимися переменными

Решения уравнения являются решениями (3).

Если область выбрана так, что , то разделив на получим уравнение с разделёнными переменными

Это частный случай уравнения в полных дифференциалах. Для него очень просто получить решение в квадратурах. Интегральная кривая уравнения (3), проходящая через точку , имеет вид:

11 ) Однородные уравнения первого порядка, понятие об однородной функции двух независимых переменных, особые точки и особые решения уравнения первого порядка.

Однородные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение называется однородным, если — однородная функция нулевой степени. Функция называется однородной степени , если для любого выполняется равенство .

Понятие об однородной функции двух независимых переменных

Функция двух переменных называется однородной измерения m, если выполняется соотношение .

Особые точки и особые решения уравнения первого порядка

Если в окрестности точки (x0, y0) плоскости для уравнения выполняются условия существования и единственности решения задачи Коши (непрерывность f(x, y) и ), то через эту точку проходит единственная интегральная кривая. Если эти условия нарушаются, точку (x0, y0) называют особой точкой дифференциального уравнения. Через особую точку может не проходить ни одной интегральной кривой (т.е. задача , y(x0) = y0 не имеет решения); может проходить одна интегральная кривая; может проходить несколько интегральных кривых. Особые точки могут образовать кривую, которая сама является интегральной кривой уравнения. Решение уравнения, в каждой точке которого нарушается его единственность, называют особым решением.

12) Линейное ДУ 1-го порядка. Интегрирование однородного и неоднородного линейных уравнений. Уравнение Бернулли.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет общий вид

решение линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

, где С=const

Интегрирование однородного и неоднородного линейных уравнений

Уравнение порядка n

Однородное уравнение:

интегрируется следующим образом:

Пусть — все различные корни характеристического многочлена, являющегося левой частью характеристического уравнения

кратностей , соответственно, .

Тогда функции

являются линейно независимыми (вообще говоря, комплексными) решениями однородного уравнения, они образуют фундаментальную систему решений.

Общее решение уравнения является линейной комбинацией с произвольными постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами фундаментальной системы решений.

Неоднородное уравнение

Неоднородное уравнение интегрируется методом вариации произвольных постоянных (Метод Лагранжа). Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения без нахождения частного решения.

Вид общего решения неоднородного уравнения

Если дано частное решение неоднородного уравнения y0(t), и — фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение уравнения задается формулой

где — произвольные постоянные.

Уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение называется уравнением Бернулли (при n = 0 или n = 1 получаем неоднородное или однородное линейное уравнение). При n = 2 является частным случаем уравнения Риккати.

13) Уравнение

                                                                                                                           (1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции  , т.е.

.

Признак полного дифференциала.Будем предполагать, что в уравнении (1) функции f(t, x) и g(t, x) заданы на прямоугольникеJ₁×J₂ (J₁, J₂ — промежутки в R) и непрерывны на нем вместе со своими частными производными ∂f/∂t и ∂g/∂x. Если в этих условиях (1) есть уравнение в полных дифференциалах, то

∂Φ ∂x  =  f, ∂Φ ∂t  =  g

(5)

и, следовательно,

∂f ∂t  =  ∂2Φ ∂t∂x ,   ∂2Φ ∂x∂t  =  ∂g ∂x .

Поэтому из известной теоремы о равенстве смешанных производных вытекает следующий необходимый признак уравнения в полных дифференциалах:

∂f ∂t  =  ∂g ∂x    ((t, x) ∈ J1×J2).

Соотношение вида , неявно определяющее общее решение уравнения (2.1) или (2.2) называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.