§3.Статистика электронов и дырок в полупроводниках
Одним из основных параметров, характеризующих газ свободных носителей в полупроводниках, является химический потенциал. В применении к электронному и дырочному газу его обычно называют уровнем Ферми. В металлах, как уже неоднократно отмечалось, уровень Ферми является последним заполненным уровнем в зоне проводимости при абсолютном нуле температур. Концентрация электронного газа в металлах сравнима по порядку величины с числом состояний в зоне проводимости, вследствие чего этот газ является вырожденным и распределение электронов по состояниям описывается квантовой статистикой Ферми – Дирака, и его концентрация практически не зависит от температуры.
При
термодинамическом равновесии вероятность
заполнения квантовых состояний зависит
только от энергии E и
температуры. В собственных и
слаболегированных полупроводниках
электронный (дырочный) газ является
невырожденным и распределение носителей
по состояниям описывается классической
статистикой Максвелла – Больцмана. Для
таких полупроводников концентрация
свободных носителей зависит от положения
уровня Ферми и температуры. Найдём эту
зависимость исходя из плотности состояний
в энергетическом пространстве и
статистики носителей. Для этих целей
вполне пригодна модель свободных
электронов с должным образом определённой
эффективной массой плотности состояний
и соответствующим выбором начала отсчёта
энергий для электронов и дырок. Для
плотности состояний, положив объём
равным единице V=1 из
формулы (3.9), получаем
.
(6.3.1)
Так, для типичной энергетической зоны полупроводника, имеющей вид
,
(6.3.2)
Получим, сделав замену переменных
(6.3.3)
Следующий результат:
,
(6.3.4)
Откуда видно, что эффективная масса плотности состояний определяется выражением
.
О
чевидно
формула (5.3.4) должна быть справедлива и
для электронных состояний в зоне
проводимости. Нужно только выбрать дно
этой зоны в качестве начала отсчёта
энергии, поскольку ниже дна состояния
отсутствуют.
Таким образом, для электронов проводимости выражение (5.3.4) принимает вид
,
(6.3.5)
где – эффективная масса плотности электронных состояний в зоне проводимости, – энергия дна зоны проводимости. При температуре T, отличной от абсолютного нуля, в зоне проводимости такого полупроводника находятся электроны, а в валентной зоне – дырки. Обозначим их концентрацию соответственно n и p. Выделим около дна зоны узкий интервал энергий dE, заключённый между E и E+dE. Так как электронный газ является невырожденным, то число электронов dn, заполняющее интервал энергии dE, можно определить так (учитывая распределение Максвелла – Больцмана):
.
(6.3.6)
Полное число
электронов n, находящихся
при температуре T в
зоне проводимости, получим, интегрируя
последнее выражение по всем значениям
энергии в зоне от 0 до значения
,
но так как экспоненциальный множитель
от энергии спадает очень быстро, то
верхний предел в интеграле можно заменить
,
тогда имеем
, (6.3.7)
или
.
(6.3.8)
– эффективная плотность состояний для
зоны проводимости.
Обратим внимание, что в последнем выражении постоянная Планка не перечёркнутая. Подобный расчёт, проведённый для дырок p, возникающих в валентной зоне, приводит к выражению
,(6.3.9)
– эффективная плотность состояний для
валентной зоны
где
ширина
запрещённой зоны,
–
эффективная масса дырок.
В последних выражениях использованы следующие соотношения (см. рис.)
.
(6.3.10)
Из (5.3.7) и
(5.3.9) следует, что концентрация свободных
носителей заряда в данной зоне определяется
расстоянием этой зоны от уровня Ферми:
чем больше это расстояние, тем ниже
концентрация носителей (так как
см.п.14
и
).
Произведение n на p для любого невырожденного полупроводника, согласно тем же формулам (5.3.8) и (5.3.9), равно
.(6.3.11)
Эта формула показывает, что при фиксированной температуре произведение концентраций электронов и дырок для данного полупроводника является величиной постоянной. В этом состоит закон действующих масс в применении к газу свободных носителей в полупроводниках.