§11.Приближение почти свободных электронов

Следующее приближение, которое так же позволяет получить дополнительную информацию о поведении электрона в слабом периодическом поле, есть приближение почти свободных электронов.

Пусть периодический потенциал действует, как возмущение еа систему свободных электронов невозмущёнными функциями будем считать блоховскими (8.3) и рассмотрим матричные элементы потенциала на этих невозмущённых функциях, т. е. выражение вида

(11.1)

Вследствие периодичности потенциала его матричные элементы обращаются в нуль, если и не удовлетворяют условию , если это условие имеет место, то

, (11.2)

где – коэффициенты фурье разложения периодического потенциала

(11.3)

Таким образом, отличны от нуля только матричные элементы от функций, волновые векторы которых отличаются точно на вектор обратной решётки. Рассматривая возмущающий потенциал как причину рассеяния свободных электронов, мы получаем здесь, по существу, теорию дифракции электронов. Условия дифракции для рентгеновских лучей нами были найдены ранее. Для электронов они получились точно такими же.

Пусть невозмущённая волновая функция есть . Для возмущённой функции в первом приближении получаем (11.4)

Здесь штрих усуммы обозначает, что слагаемое с p=0 из суммы исключается. Тогда в этом же приближении выражение для энергии будет иметь вид

. (11.5)

Величина – нулевая фурье компонента кристаллического потенциала иопределяет среднюю потенциальную энергию электрона в решётке. Тогда как ряд по индексу р представляет следующую поправку, зависящую от волнового вектора и малую, если числитель невелик по сравнению со знаменателем.

Что будет, если знаменатель в (11.4) и (11.5) обратится в нуль и обычная теория возмущения окажется неприменимой. Невозмущённая система здесь вырождена по энергии (случайное вырождение), и надо использовать методы, пригодные в том случае. Пусть в этой точке имеется только двукратное вырождение, и волновые векторы оличаются на вектор обратной решётки. Тогда для определения поправки нулевого порядка к энергии нужно сначала решить вековое уравнение

=0 (11.6)

И только потом искать какие – либо поправки более высокого порядка. Уравнение(11.6) – квадратное отоносительно энергии; соответственно корни его имеют вид

(11.7)

Два корня (10.7) дают два уровня, возникающие вместо двух невозмущённых уровней и . Последние соответствуют состояниям, которые были вырожднены или почти вырождены в отсутствие возмущения и перемешались при наличии его. Влияние возмущения проявилось, как всегда, в расщеплении уровней. Величина этого расщепления зависит от конкретного значения волнового вектора. Однако легко видеть, что она должна составлять величину, по крайней мере . Полная картина в трёхмерном случае гораздо сложнее, но основные результаты можно уяснить и на одномерном случае (см. рис.)

Здесь точки вектора обратной решётки делят ось волнового вектора на равные интервалы. Функция, изображающая невозмущённую энергию, представляет собой просто параболу. В точках типа А и А’, отстоящих друг от друга в обратном пространстве на величины кратные вектору обратной решётке K, энергия одинакова. Влияние возмущения проявляется в том, что два состояния, изображаемые, например, точками и , смешиваются так, что энергия первого из них повышается до значения в точке P, а энергия второго уменьшается до значения в точке Q. Вдали от этих точек энергия довольно хорошо описывается параболической зависимостью. Таким образом, на границах зон Бриллюэна наблюдаются разрывы в энергетическом спектре, величина которых равна ~ удвоенному фурье коэффициенту потенциальной энергии. В этом случае энергетические состояния распадаются на квазинепрерывные энергетические полосы. Граничным состояниям в этих полосах соответствуют стоячие волны. Эти стоячие волны можно рассматривать как результат Брэгговского отражения электроннлй волны от плоскости, ограничивающенй зону Бриллюэна.