Теорема о единственности предела

Числовая последовательность может иметь только один предел

Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.

Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.

Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.

Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.

11. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых. Определение

Если , то бесконечно малые величины α и β называются эквивалентными ( ). Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.

При справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из т. н. замечательных пределов):

;

;

;

.

6.3.Бесконечно малые величины и их св-ва

Опр. Функция f(x) называется бесконечно малой при ха, где а может быть числом или одной из величин , + или -, если .Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.Пример. Функция f(x) = xⁿ является бесконечно малой при х0 и не является бесконечно малой при х1, т.к. .Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при ха имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие f(x) = A + (x),где (х) – бесконечно малая при х  а ((х)0 при х  а).

Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах

.Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + (x), g(x) = B + (x), где , тогдаf(x)  g(x) = (A + B) + (x) + (x)

A + B = const, (х) + (х) – бесконечно малая, значит

Теорема доказана.Доказательство теоремы 3. Представим f(x) = A + (x), g(x) = B + (x), где , тогда

AB = const, (х) и (х) – бесконечно малые, значит Теорема доказана.

1.3 Числовая последовательность и ее предел.

Числ послед-ть – функция вида y = f(x), x  N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y₁, y₂,…, y_n,…. Значения y₁, y₂, y₃,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Например, для функции y = n² можно записать:

y₁ = 1² = 1;

y₂ = 2² = 4;

y₃ = 3² = 9;…y_n = n²;…

^.

^{Строгое определение предела формулируется следующим образом:}

^{Если существует такое число A, что для любого (сколь угодно малого) положительного числа e найдется такое натуральное N (вообще говоря, зависящее от e), что для всех n і N будет выполнено неравенство |a}_n ^{– A| < e, то говорят, что последовательность {a}_n^{} сходится и A – ее предел.}

^{Обозначается это так: .}

^{В противном случае последовательность называется расходящейся}