14.3. Односторонняя непрерывность. Свойства непрерывных на отрезке функций
если предел функции слева равен значению функции в данной точке, то говорят, что функция непрерывна слева в данной точке;
если предел функции справа равен значению функции в данной точке, то говорят, что функция непрерывна справа в данной точке;
1. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и f(a)*f(b)<0, т.е. знаки f(a) и f(b) противоположны, то на (a,b) найдется хотя бы одна точка х=с, что f(c)=0 (график)-теорема Больцана-Коши.
2
.
Если ф-ция y=f(x)
непрерывна на [a,b],
то она ограничена на этом промежутке.
3. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она достигает на этом отрезке min m и max M (теорема Вейерштрасса).
15. Раскрытие неопределенностей других видов по правилу Лопиталя.
Теорема
(правило Лопиталя).
Пусть функции f(x)
и g(x)
дифференцируемы в некоторой окрестности
точки a,
за исключением, быть может, самой точки
a,
и пусть
или
.
Тогда, если существует предел отношения
производных этих функций
,
то существует и предел отношения самих
функций f(x)/g(x)
при x→а,
причем
|
(1) |
Таким образом, правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.
19. Выпуклость, вогнутость графика функции; достаточные условия.
Функция
f
(
x
) называется выпуклой
на интервале ( a,
b
), если её график на этом интервале лежит
ниже
касательной, проведенной к кривой
y
= f (
x
) в любой точке ( x0
,
f
(
x0
) ), x0
(
a,
b
).
Функция f ( x ) называется вогнутой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x0 , f ( x0 ) ), x0 ( a, b ).
Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.
Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:
если f '' ( x ) > 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );
если f '' ( x ) < 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .
Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x0 существует вторая производная f '' ( x0 ), то f '' ( x0 ) = 0.
23. Наименьшее и наибольшее значения непрерывной на отрезке функции. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке
Говорят,
что функция
,
определенная на промежутке Х,
достигает на нем своего наибольшего
(наименьшего) значения, если существует
точка а,
принадлежащая этому промежутку, такая,
что для всех х
из Х
выполняется неравенство
.
Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.
Наибольшее значение М и наименьшее значение m непрерывной функции могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах. Если наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка является точкой экстремума.