- •2.1.Умножение матриц. Свойстваумножения.
- •12.1.Понятие вектора. Линейные операции над векторами.
- •13.1. Базис и координаты вектора.
- •14.1. Прямоугольн система координат. Линейн операц над векторами в лин форме.
- •4.1. Миноры, алгебраические дополнения. Теорем о разложении определителя по элементам ряда Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа
- •3.1 Определители 2-го и 3-го порядков. Понятие определителя n-го порядка.
- •5.1 Свойства Определителей
- •16.1. Векторное произведение векторов.
- •17.1. Смешанное произведение векторов и его свойства.
- •1.1.Матрицы (основные понятия). Линейные операции над матрицами, их свойства
- •6.1.Обратная матрица. Необходимое и достаточное условия существования обратной матрицы
- •10.1 Теорема Конекера─Капелли. Решение произвольных систем.
- •8.1.Невырожденные системы.Фор-ы Краме. Метод Гаусса.
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •9.1 Ранг матрицы. Теорема об инвариантности ранга матрицы.
- •7.1Системы линейных уравнений. Основные определения. Матричная запись
- •1.2. Урав плоскости, проходящей через данную точку перпендик-рно даному вектору. Общ урав плоскости. Урав плоскости в отрезках.
- •4.2. Взаимное расположение плоскостей.
- •5.1. Канонические и параметрические уравн прямой. Урав прямой, проходящ через две точки.
- •6.2 Сведение общего урав. Прямой в пространсве к каноническим уравнениям.
- •11.2. Взаимн распол-ние прямй и плоскоси. Угол между прямой и плоскостью
- •3.2 Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Теорема о единственности предела
- •11. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых. Определение
- •6.3.Бесконечно малые величины и их св-ва
- •1.3 Числовая последовательность и ее предел.
- •8. 3. 1Й, замечательный предел.
- •9.3 Второй замечательный предел
- •1 2.3. Непрерывность функции в точке. Действия над непрерыв функциями
- •13. Классификация точек разрыва.
- •5.3 Свойства бесконечно малых функций:
- •4.4 Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Связь между ними
- •2. Теорема об ограниченности сходящеся последовательности. Теоре Вейерштрасса.
- •14.3. Односторонняя непрерывность. Свойства непрерывных на отрезке функций
- •15. Раскрытие неопределенностей других видов по правилу Лопиталя.
- •19. Выпуклость, вогнутость графика функции; достаточные условия.
- •23. Наименьшее и наибольшее значения непрерывной на отрезке функции. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке
- •11.4 Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
- •12.4 Дифференциалы высших порядков. Дифференциал высшего порядка функции одной переменной
- •1.4 Производная. Геометрический и механический смысл.
- •3.4. Основные правила дифференцирования.
- •8.4 Логарифмическое дифференцирование.
- •10.4. Дифференциал ф-ции и его геометрический смысл. Св-ва дифференциала.
- •13.4.Теорема Ролля. Лагранжа. Коши
- •6.4.Производная ф-и задана неявно
- •16.4. Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума (теорема Ферма).
- •21.4. Асимптоты.
- •22.4. Общая схема исследования ф-ции необходима для построения графика.
- •2.4 Теорема: Связь между непрерывной и дифференцируемой функцией.
- •9.4Производная высших порядков.
- •14.4.Раскрытие неопределенностей вида 0/0 (правило Лопиталя).
- •15.4 Раскрытие неопределенностей других видов по правилу Лопиталя.
- •17.4 Теорема: Достаточный признак возрастания функции.
- •18.4 Достаточные условия существования экстремума.
- •19.4 Выпуклость графика функции.
- •7.4 Производная ф-и задана и параметрически
- •6.4.Производная ф-и задана неявно
- •14.2. Парабола и ее свойства.
- •12.2.Эллипс и его св-ва:
- •13.2. Гипербола и ее св-ва.
- •15. Скалярное произведение векторов и его свойства.
11.4 Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Как уже известно, приращение ∆у функции у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α•∆х. Отбрасывая бесконечно малую α•∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство
∆у≈dy, (24.3)
причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х.
Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.
Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычислительной практике.
12.4 Дифференциалы высших порядков. Дифференциал высшего порядка функции одной переменной
Для функции, зависящей от одной переменной второй и третий дифференциалы выглядят так:
Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции :
При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что есть произвольное и не зависящее от , которое при дифференцировании по следует рассматривать как постоянный множитель.
Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных
Если функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: .
1.4 Производная. Геометрический и механический смысл.
1. cp.=S/t, =lim(S/t), где t0
2. pcp.=m/l, pT=lim(m/l), где l0
y=f(x+x)-f(x), y=f(x)
lim(y/x)=lim((f(x+x)-f(x))/x)
x0 x0
Смысл производной - это скорость изменения ф-ции при изменении аргумента.
y=f(x+x)-f(x), y=f(x). производной в точке а называется предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента:
lim(y/x)=lim((f(x+x)-f(x))/x)=dy/dx
x0 x0
Вычисление производной: lim(y/x)=y` x0
1) если y=x, y=x, y`=x=lim(y/x)=1.
2) если y=x2, y=(x+x)2-x2=x2+2xx+x2-x2=x(2x-x),
(x2)`=lim((x(2x+x))/x)=lim(2x+x)=2x
x0 x0
Геометрический смысл производной.
K N=y, MK=x
MNK/tg2=y/x
вычислим предел левой и правой части:
limtg=lim(y/x) x0
tg0=y`
0
При x0 секущая MNзанять положение касательной в точке M(tg0=y`, 0)
Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x0.
Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x ( t ) времени t. В течение интервала времени от t0 до t0 + точка перемещается на расстояние: x ( t0 + ) x ( t0 ) = , а её средняя скорость равна: va = . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v ( t0 ) материальной точки в момент времени t0 . Но по определению производной мы имеем:
отсюда, v ( t0 ) = x’ ( t0 ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ ( t ).