14.2. Парабола и ее свойства.

Множество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет уравнению y=ax², где х и у - текущие координаты, а- нек. число, наз. параболой.

Е сли вершина нах. в О(0,0), то ур-е примет вид

y²=2px-симметрично отн. оси ОХ

х²=2pу-симметрично отн. оси ОУ

Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса.

Любой точке М(х,у), принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2

Св-ва:

1. парабола предст. собой  точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы y=ax².

12.2.Эллипс и его св-ва:

Кривая второго порядка наз. эллипсом если коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки

Аx²+Cy²=

ур.-е

наз. канонич. ур.-ем эллипса, где При а=в представляет собой ур-е окружности х²+y²=а²

Точки F₁(-c,0) и F₂(c,0) - наз. фокусами эллипса а.

Отношение =с/а наз. его эксцентриситетом (0<=<=1)

Точки A₁,A₂,B₁,B₂ -вершины эллипса.

Св-во: Для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянной, =2а.

13.2. Гипербола и ее св-ва.

Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в ур-ии Ax²+Cy²=, коэффициент А и С имеют противоположные знаки, т.е. А*С<0

б) Если >0, то каноническое ур-е гиперболы примет вид: x²/a²-y²/b²=1, F1(c,o) и F₂(-c,0) - фокусы ее, >0, =c/a - эксцентриситет.

Св-во: для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная = 2а.

б) если =0, ур-е примет вид x²/a²-y²/b²=0, получаем 2 перекрестные прямые х/ау/b=0

в) если <0, то x²/a²-y²/b²=-1 - ур-е сопряженной гиперболы.

15. 1. Скалярное произведение векторов: его свойства скаляр проивед векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними. Оно обозначается . – есть проекция на и – проекция на . Скалярное произведение векторов есть произведение одного из них на проекцию другого на первый. Косинус угла между векторами:

Два вектора на перпендикулярны (ортогональны), т.е. тогда и только тогда, когда .

Свойства скалярного произведения:

1. – переместительное свойство;

2. – скалярный квадрат вектора;

3. – распределительное свойство;

4. – сочетательное свойство относительно числового множителя.

Докажем распределительное свойство:

15. Скалярное произведение векторов и его свойства.

2х векторов а и в наз. число, равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. (а,в)- скалярное произведение. а*в=|а|*|в|*cos, =/2, cos/2=0, ab=>ab=0. Равенство “0” скаляргного произведения необходимое и достаточное условие их перпендикулярности (ортогональности).

скалярное произведение 2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

аа=x²+y²+z²=|a|² a{x,y,z}, aa=|a|*|a|, то a²=|a|²

ab=|a|*|b|*cos

а)ав=0,<=>ав, x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=0

б)а||в - коллинеарны, если , x₁/x₂=y₁/y₂=z₁/z₂