- •2.1.Умножение матриц. Свойстваумножения.
- •12.1.Понятие вектора. Линейные операции над векторами.
- •13.1. Базис и координаты вектора.
- •14.1. Прямоугольн система координат. Линейн операц над векторами в лин форме.
- •4.1. Миноры, алгебраические дополнения. Теорем о разложении определителя по элементам ряда Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа
- •3.1 Определители 2-го и 3-го порядков. Понятие определителя n-го порядка.
- •5.1 Свойства Определителей
- •16.1. Векторное произведение векторов.
- •17.1. Смешанное произведение векторов и его свойства.
- •1.1.Матрицы (основные понятия). Линейные операции над матрицами, их свойства
- •6.1.Обратная матрица. Необходимое и достаточное условия существования обратной матрицы
- •10.1 Теорема Конекера─Капелли. Решение произвольных систем.
- •8.1.Невырожденные системы.Фор-ы Краме. Метод Гаусса.
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •9.1 Ранг матрицы. Теорема об инвариантности ранга матрицы.
- •7.1Системы линейных уравнений. Основные определения. Матричная запись
- •1.2. Урав плоскости, проходящей через данную точку перпендик-рно даному вектору. Общ урав плоскости. Урав плоскости в отрезках.
- •4.2. Взаимное расположение плоскостей.
- •5.1. Канонические и параметрические уравн прямой. Урав прямой, проходящ через две точки.
- •6.2 Сведение общего урав. Прямой в пространсве к каноническим уравнениям.
- •11.2. Взаимн распол-ние прямй и плоскоси. Угол между прямой и плоскостью
- •3.2 Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Теорема о единственности предела
- •11. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых. Определение
- •6.3.Бесконечно малые величины и их св-ва
- •1.3 Числовая последовательность и ее предел.
- •8. 3. 1Й, замечательный предел.
- •9.3 Второй замечательный предел
- •1 2.3. Непрерывность функции в точке. Действия над непрерыв функциями
- •13. Классификация точек разрыва.
- •5.3 Свойства бесконечно малых функций:
- •4.4 Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Связь между ними
- •2. Теорема об ограниченности сходящеся последовательности. Теоре Вейерштрасса.
- •14.3. Односторонняя непрерывность. Свойства непрерывных на отрезке функций
- •15. Раскрытие неопределенностей других видов по правилу Лопиталя.
- •19. Выпуклость, вогнутость графика функции; достаточные условия.
- •23. Наименьшее и наибольшее значения непрерывной на отрезке функции. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке
- •11.4 Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
- •12.4 Дифференциалы высших порядков. Дифференциал высшего порядка функции одной переменной
- •1.4 Производная. Геометрический и механический смысл.
- •3.4. Основные правила дифференцирования.
- •8.4 Логарифмическое дифференцирование.
- •10.4. Дифференциал ф-ции и его геометрический смысл. Св-ва дифференциала.
- •13.4.Теорема Ролля. Лагранжа. Коши
- •6.4.Производная ф-и задана неявно
- •16.4. Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума (теорема Ферма).
- •21.4. Асимптоты.
- •22.4. Общая схема исследования ф-ции необходима для построения графика.
- •2.4 Теорема: Связь между непрерывной и дифференцируемой функцией.
- •9.4Производная высших порядков.
- •14.4.Раскрытие неопределенностей вида 0/0 (правило Лопиталя).
- •15.4 Раскрытие неопределенностей других видов по правилу Лопиталя.
- •17.4 Теорема: Достаточный признак возрастания функции.
- •18.4 Достаточные условия существования экстремума.
- •19.4 Выпуклость графика функции.
- •7.4 Производная ф-и задана и параметрически
- •6.4.Производная ф-и задана неявно
- •14.2. Парабола и ее свойства.
- •12.2.Эллипс и его св-ва:
- •13.2. Гипербола и ее св-ва.
- •15. Скалярное произведение векторов и его свойства.
1 2.3. Непрерывность функции в точке. Действия над непрерыв функциями
x=x0+x, x=x-x0
y=f(x0+x)-f(x0)
Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной в точке x0, если она определена в окрестности этой точки, а limy=0. (бесконеч.малая. приращению аргумента соответствует б.м. приращению ф-ции).
limy=lim[f(x)-f(x0)]=limf(x)-limf(x0)=0, то
limf(x)=limf(x0)
xx0
Ф-ция непрерывна в точке х0, если ее предел = значению этой ф-ции в точке х0
Ф-ция явл. непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке.
13. Классификация точек разрыва.
Если хотя бы одно из равенств нарушается, говорят о разрыве в точке . Если и односторонние пределы конечны, то разрыв в точке называется устранимым. Если и оба односторонние пределы конечны, то говорят о скачке функции в точке . Устранимый разрыв и скачок называются разрывами первого рода. Если один из односторонних пределов бесконечен или не существует, то разрыв называется разрывом второго рода. Так же, как для предела и непрерывности, говорят о разрыве слева и разрыве справа.
5.3 Свойства бесконечно малых функций:
1.Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при ха тоже бесконечно малая функция при ха.
2.Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при ха тоже бесконечно малая функция при ха.
3.Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при ха.
4.Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.
4.4 Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Связь между ними
О пределение. Предел функции f(x) при ха, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число >0, что неравенствоf(x)>M выполняется при всех х, удовлетворяющих условию 0 < x - a < Записывается . Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие f(x)>M на f(x)>M, то получим: а если заменить на f(x)<M, то: Графически приведенные выше случаи можно проиллюстрировать следующим образом:
Определение. Функция называется бесконечно большой при ха, где а – чосли или одна из величин , + или -, если , где А – число или одна из величин , + или -. Функция f(x) называется бесконечно малой при ха, где а может быть числом или одной из величин , + или -, если
Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.Теорема. Если f(x)0 при ха (если х ) и не обращается в ноль, то
2. Теорема об ограниченности сходящеся последовательности. Теоре Вейерштрасса.
Теорем (1 теорема Вейерштрасса)
Если фун-я непрерывна на сегменте, то она ограничена на нем.
Дока-ство: методом от противного, воспользуемся свойством замкнутости сегмента [a,b]. Из любой последовательности (xn) этого сегмента можем выделить подпоследовательность , сходящуюся к .
Пусть f не ограничена на сегменте [a;b], например, сверху, тогда для всякого натурального найдется точка , что . Придавая n значения 1,2,3,…, мы получим последовательность (xn) точек сегмента [a;b] для которых выполнено свойство f(x1)>1,f(x2)>2,f(x3)>3,…,f(xn)>n…
Последовательность ограничена и поэтому из нее по теореме можно выделить подпоследовательность > >, которая сходится к точке : (1)
Рассмотрим соответствующую последовательность . С одной стороны и поэтому (2),
С другой стороны, учитывая определение непрерывной функции по Гейне из (1) будем иметь (3)
Получаем равенства (2) и (3) противоречат теореме (о единственности предела). Это противоречие и доказывает справедливость Т. Аналогично доказывается ограниченность функции снизу. Ч.Т.Д.