![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Вопрос 15. Геометрическое и гипергеометрическое распределения.
- •Вопрос 16. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства.
- •Вопрос 17. Вероятностный смысл мат. Ожидания. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях.
- •Вопрос 18. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства. Введем случайную величину представляющую собой отклонение от математического ожидания.
- •Вопрос 19. Дисперсия числа появления событий в независимых испытаниях. Среднее квадратическое отклонение.
- •Вопрос 20. Мат. Ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых величин.
- •Вопрос 21. Неравенство Чебышева.
- •Вопрос 22. Теорема Чебышева.
- •Вопрос 23. Теорема Бернулли.
- •Вопрос 24. Функция распределения и ее свойства.
- •Вопрос 25. Плотность распределения, ее свойства.
- •Вопрос 26. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения. Вероятностный смысл плотности распределения.
- •Вопрос 27. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Числовые характеристики св
- •Математическое ожидание (мо)
- •Мо основных св
- •Дисперсия св
- •Дисперсия основных св
- •Математическое ожидание и дисперсия суммы случайных величин
- •Вопрос 28. Закон равномерного распределения.
- •Вопрос 29. Нормальное распределение
- •Вопрос 30. Нормальная кривая (Кривая Гаусса).
- •Вопрос 31. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал.
- •Вопрос 32. Вероятность отклонения нормально распределенной случай ной величины.
- •Вопрос 33. Показательное распределение
- •Вопрос 34. Функция надежности
- •Вопрос 35. Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины.
- •Вопрос 36. Вероятность попадания случайной величины в полуполосу.
- •Вопрос 37. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины.
- •Вопрос 38. Нахождение плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины.
- •Вопрос 39. Зависимые и независимые случайные величины. Корреляционный момент и коэффициент корреляции.
- •Вопрос 40. Коррелированность и зависимость случайных величин.
- •Вопрос 41. Нормальное распределение на плоскости.
- •Вопрос 42. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии.
- •Вопрос 43. Характеристическая функция случайной величины. Основные свойства. Формула обращения и теорема единственности.
- •Вопрос 44. Цепи Маркова. Вероятность перехода за n шагов. Эргодическая теорема Маркова.
- •Вопрос 45. Марковские процессы. Процессы гибели и размножения
- •Вопрос 46. Стационарный случайный процесс. Теорема Хинчина.
- •Вопрос 47. Понятие стохастического интеграла. Теорема о спектральном представлении.
- •Вопрос 48. Задачи математической статистики. Выборка. Статистический и вариационный ряды.
- •Вопрос 49. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения.
- •Вопрос 50. Понятие оценки параметров распределения. Оценка генеральной средней по выборочной средней.
- •Вопрос 51. Генеральная и выборочная дисперсия. Вычисление дисперсии.
- •Вопрос 52. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной.
- •Вопрос 53. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном .
- •Вопрос 54. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном .
- •Вопрос 55. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения.
- •Вопрос 56. Оценка вероятности биномиального распределения по относительной частоте.
- •Вопрос 57. Выборочные уравнения регрессии.
- •Вопрос 58. Выборочный коэффициент корреляции.
- •Вопрос 59. Понятие статистической гипотезы. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы
- •Вопрос 60. Критическая область. Отыскание критической области.
- •Вопрос 61. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей.
- •Вопрос 62. Проверка гипотезы о нормальном распределении. Критерий согласия Пирсона.
Вопрос 42. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии.
Рассмотрим двумерную случайную величину
(X,Y), где X,Y
– зависимые случайные величины.
Представим одну из величин как функцию
другой. Ограничимся приближенным
представлением величины Y
в виде линейной функции величины X:
,
где
и
- параметры, подлежащие определению.
Это можно сделать различными способами:
наиболее употребительный из них – метод
наименьших квадратов. Функцию
называют «наилучшим приближением» Y
в смысле метода наименьших квадратов,
если математическое ожидание
принимает наименьшее возможное значение;
функцию g(x)
называют среднеквадратической
регрессией Y на Х.
Теорема: Линейная средняя
квадратическая регрессия Y
на Х имеет вид
,
где
-
коэффициент корреляции величин X
и Y.
Доказательство: Введем в рассмотрение
функцию двух независимых аргументов
:
(1). Учитывая, что М(X-mx)=
М(X-my)=0,
М[(X-mx)(X-my)]=
и выполнив выкладки, получим
.
Исследуем функцию
на
экстремум, для этого приравняем к нулю
частные производные:
.
Отсюда
,
.
Можно убедиться, что при любых значениях
рассматриваемая функция принимает
наименьшее значение. Таким образом,
линейная средняя квадратичная регрессия
Y и X имеет
вид
или
.
Коэффициент
называют коэффициентом регрессии
Y на Х, а прямую
(2) называют прямой среднеквадратичной
регрессии Y на Х. Подставив
найденные значения
в соотношение (1) получаем минимальное
значение функции F(
),
равное
Величину
называют
остаточной дисперсией случайной величины
Yотносительно случайной
величины Х; она характеризует величину
ошибки, которую допускают при замене Y
линейной функцией
.
При
остаточная дисперсия равна 0; другими
словами, при этих крайних значениях
коэффициента корреляции не возникает
ошибки при представлении Y
в виде линейной функции от Х. Таким
образом, если коэффициент корреляции
,
то Х и Y связаны линейной
функциональной зависимостью. Аналогично
можно получить прямую среднеквадратической
регрессии X на Y:
(3)
, где
- коэффициент регрессии Х на Y;
и остаточная дисперсия
величины Х относительно Y.
Если
,
то обе прямые регрессии совпадают как
видно из уравнений (2) и (3). Из этих же
уравнений следует, что обе прямые
регрессии проходят через точку (
которую называют центром совместного
распределения величин X
и Y.
Вопрос 43. Характеристическая функция случайной величины. Основные свойства. Формула обращения и теорема единственности.
Характеристической
функцией случайной
величины Х называется математическое
ожидание величины
,
где i-
мнимая единица.
(1)
Если Х – непрерывная случайная величина,
тогда
(2).
Основные свойства: 1)
;
(по свойству f(x));
2)
;
(
;
3)
-
является равномерно непрерывной на
всей числовой оси; 4) если случайная
величина представлена в виде Х=аy+b
(где а и b- произвольные
числа, а у- другая случайная величина),
тогда
;
5) Z=X+Y,
Х и Y –независимые.
Докажем, что
.
;
6) если существует несобственный
интеграл
(т.е. сходится), тогда
(3) доказать
.
;
Определить М и D случайной
величины Х по характеристической
функции:
(4);
(5);
(6)
(7) . Формула обращения. Теорема
единственности.
Теорема 1(формула обращения): Если
и
-
точки непрерывности функции распределения,
а
-
соответствующая ей характеристическая
функция, то справедливо:
(1). Эта формула показывает вероятность
попадания случайной величины в интервал
(
;
).
В формуле (1) положим
(2) Теорема единственности….