Вопрос 49. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения.

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака Х. Обозначим: - число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее х; n – общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота события Х<x равна /n. Если х меняется, то меняется и относительная частота, т.е относительная частота /n есть функция от х. Так как эта функция находится опытным путем, то ее называют эмпирической. Эмпирическая функция – это функция , определяющая для каждого значения х относительную частоту события Х<х , т.е где n-объем выборки, - число вариант меньших х. Таким образом, чтобы найти например , надо число вариант, меньших , разделить на объем выборки: В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения F(x) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция определяет вероятность события, а эмпирическая определяет относительную частоту этого же события. Теоретическая и эмпирическая функции обладают общими свойствами. Свойства эмпирической функции:1) значения эмпирической функции принадлежат отрезку ; 2) - неубывающая функция; 3) если - наименьшая варианта, то =0 при ; если - наибольшая варианта, то =1 при . Таким образом, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Для наглядности строят различные графики статистического распределения и, в частности, полигон и гистограмму. Полигон частот – ломаная, отрезки которой соединяют точки . Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – соответствующие им частоты . Точки соединяют отрезками прямых и получают полигон частот. Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки . Для построения полигона относительных частот на оси Х откладывают варианты , а на оси Y – соответствующие им относительные частоты W_i. Точки соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот. В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько различных частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала - сумму частот вариант, попавших в i-й интервал. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты которых равны отношению /h (плотность частоты). Для построения гистограммы частот по оси Х откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси Х на расстоянии /h.

Вопрос 50. Понятие оценки параметров распределения. Оценка генеральной средней по выборочной средней.

Статистической оценкой неизвестного параметра называют функцию от случайной величины , которые представляют собой значения, полученные по выборке. Оценивают, как правило, числовые характеристики случайной величины. Оценки: 1)точечные оценки, которые представляют собой конкретное значение, которое рассматривается как приближенное значение к точному значению оцениваемого параметра; 2) интервальная оценка, т.е. указывается интервал значений, в который с наперед заданной вероятностью может попасть оцениваемое значение. Требования: 1) несмещенность-точное значение оцениваемого параметра; - некоторая его точечная оценка ; 2) эффективность оценки – при данном фиксированном n дисперсия оценки должна быть наименьшей; 3) состоятельности – при достаточно большом оценка параметра по вероятности стремиться к своему точному значению. Генеральной средней называется среднее арифметическое всех наблюдаемых значений генеральной совокупности. ; , где - генеральная средняя, n- вся генеральная совокупность, n_i – частоты появления варианты. Выборочной средней называется среднее арифметическое наблюдений значений выборки. ; (1). Покажем, что если рассматривать в качестве оценки генеральную среднюю, выбрать выборочную среднюю, то она будет обладать свойством несмещенности. - частные значения независимых случайных величин . ; ; -несмещенная оценка.

Состоятельность оценки следует из закона больших чисел в виде теоремы Чебышева: а именно, при среднее арифметическое по вероятности одинаково распределенных случайных величин стремиться к математическому ожиданию каждой из случайных величин, т.е. к оцениваемому параметру. Значит, оценка является состоятельной.