- •2.Сформулируйте теорему Ролля.
- •Дайте определение интеграла с переменным верхним пределом. Докажите теорему Ньютона-Лейбница для определенного интервала.
- •5 Сформулируйте и докажите признак Даламбера для числовых рядов с положительными членами.
- •4. Дайте определение предела ф-ции двух переменных в точке. Имеет ли ф-ция предел в точке (0,0)?
- •1. Докажите ограниченность сходящейся последовательности.
- •2. Сформулируйте теорему Роля. В чем состоит ее геометрический смысл.
- •3. Сформулируйте и докажите признак Даламбера для числовых рядов с положительными членами.
- •6. Найти производную функции f(X,y) в точке м по заданному направлению:
- •1. Дайте определение предела последовательности. Может ли последовательность иметь два предела? Ответ обоснуйте.
- •2. Дайте определение дифференциала ф-ции в точке. Используя дифференциал, найдите приближенное значение для: ln 1,05.
1. Дайте определение предела последовательности. Может ли последовательность иметь два предела? Ответ обоснуйте.
1) Число a называют пределом последовательности xn limn→∞xn=a, если для любого положительного сколь угодно малого числа ε>0 существует номер n0(ε) такое, что начиная с этого номера все члены последовательности xn удовлетворяет неравенству 〡xn-a〡<ε.
limn→∞xn=a ⇒ для любого ε>0 no(ε)∈N: n≥no ⇒〡xn-a〡<ε.
2) Допустим, что limn→∞xn=a и limn→∞xn=b, причем a≠b.
Пусть ε – такое малое положительное число, что Ua(ε)=(a-ε,a+ε) и Ub(ε)=(b-ε,b+ε) не имеют общих точек.
Ua(ε)∩Ub(ε) не является пустым множеством
limn→∞xn=a⇒ε>0 n1∈N: n≥n1⇒xn∈Ua(ε)
limn→∞xn=b⇒ε>0 n2∈N: n≥n2⇒xn∈Ub(ε)
n0=max{n1, n2}⇒n≥n0⇒⇒Ua(ε)∩ Ub(ε)≠∅
Допущение неверно насчет a≠b.
2. Дайте определение дифференциала ф-ции в точке. Используя дифференциал, найдите приближенное значение для: ln 1,05.
Дифференциалом функции в точке х0 называется линейная относительно приращения аргумента часть приращения функции в этой точке, эквивалентная всему приращению.
df(х0)= f ′ (х0) ∆х; ∆х=dх; df(х0)= f ′ (х0) dх
3. Дайте определение локального экстремума функции двух переменных. Имеет ли функция f(x,y) = xy² локальный экстремум в точке (0;0)? Ответ обоснуйте.
Точка Mo называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x,y), если существует такая окрестность точки Mo, в которой для любой точки M(x,y) выполняется неравенство f(M)≤f(Mo) (f(M)≥ f(Mo))
Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума или просто точками экстремума.
f(x,y)=xy2 Mo(0,0), M(Δx, Δy)
f(0,0)=0, f(M)= ΔxΔy2
f(M)-f(Mo)= ΔxΔy2
f(M)-f(Mo) ≥0 если Δx≥0
Mo(0,0) не является точкой
f(M)-f(Mo)≤0 если Δx≤0 локального экстремума (по определению)
4. Найдите предел последовательности: lim (-4n) =
n→∞
= (∞-∞) = lim = lim =
n→∞ n→∞
5. Найдите определенный интеграл: dx = (=)
t = sinx
dt = cosxdx
x |
0 |
|
t |
0 |
1 |
(=) = = ln = ln = ln - ln = ln () = ln() = ln
6. Найдите локальные экстремумы функции z(x,y) = -5x² + 4xy – 5y² - 18x -18y -7
-
Найдем стационарные точки:
f ‘(x) = -10x + 4y -18
f ‘ (y) = 4x -10y -18
*(2)
*(5)
+
-42y=126
т. А (-3;-3) – стационарная точка
-
Проверим на наличие экстремумов:
f ‘’(xx) = -10
f ‘’(xy) = 4
f ‘’ (yy) = -10
d²f = -10 4
4 -10
т. А (-3;-3) – max; f(max) = f (-3;-3) = 47
< 0
7. Решите разностное уравнение: x-3x- 4x= -1
-
x-3x- 4x= 0
-3- 4 = 0
= 4; = -1.
x= c4+ c)
-
x= Ax = A x= A-6A = -1, A = x=Вывод: c4+ c) + 8. Исследуйте сходимость ряда: Сравним с = - сходится
lim : 6= lim = 1 => ряды эквиваленты исходный ряд сход.
n→∞ n→∞
Скачано с сайта fa4you.ru