Вопрос 22. Критерии согласия. Проверка гипотезы о соответствии эмпирических и теоретических законов распределений

Критерии согласия применяют для оценки близости экспериментальных (опытных) и теоретических распределений показателей надежности.

Критерии согласия позволяют ответить на вопрос: вызвано ли расхождение опытного и теоретического распределений случайными причинами, связанными с недостаточным числом наблюдений, или существенными причинами, т.е. тем, что теоретическое распределение плохо воспроизводит фактическое.

Критерий согласия выступает обычно в виде некоторой величины, оцениваемой с определенной вероятностью. Наиболее часто в качестве критериев согласия опытных и теоретических распределений показателей надежности принимаются критерии: Пирсона (), Романовского, Колмогорова .

Критерий Пирсона (хи - квадрат )

где - эмпирические частоты случайной величины (отказов, например) в заданном временном интервале (определяется по результатам наблюдений);

- теоретические частоты случайной величины в том же интервале (получается подставкой численных значений в формулу теоретического распределения, принятого для данного случая);

К - количество интервалов наблюдения.

Полученное значение сравнивают с табличным значением этого критерия.

Величина определяется по специальным математико-статистическим таблицам в зависимости от числа степеней свободы r и доверительной вероятности Р_Д.

Число степеней свободы

где s - число параметров теоретического распределения (для нормального распределения и распределения Вейбулла s=2; для экспоненциального s=1).

При выполнении условия расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами считают случайными, а теоретическое распределение показателей надежности - не противоречащим опытному.

При гипотезу отвергают.

При использовании критерия необходимо, чтобы объем вариационного ряда и число интервалов наблюдения были достаточно велики (что является определенным недостатком данного критерия). Количество отказов обследуемых машин, узлов, агрегатов должно превышать 50, а количество отказов в одном временном интервале должно быть больше 5. При выполнении этих условий критерий Пирсона является состоятельным, т.е. он почти всегда опровергает неверную гипотезу. Если же условия не выполняются, некоторые интервалы приходится объединять, что приводит к определенной погрешности.

Для оценки приближения эмпирического распределения к теоретическому используется критерий согласия Романовского, который определяется по формуле:

где - критерий Пирсона;

r - число степеней свободы.

Если выполняется условие , то это дает основание для утверждения, о возможности принятия теоретического распределения показателей надежности за закон данного распределения.

Критерий Колмогорова позволяет оценить справедливость гипотезы о законе распределения при малых объемах наблюдений случайной величины

где D - максимальная разность между фактической и теоретической накопленными частотами случайной величины.

На основе специальных таблиц определяют вероятность Р[] того, что если конкретный вариационный признак распределен по рассматриваемому теоретическому распределению, то из-за чисто случайных причин максимальное расхождение между фактическими и теоретическими накопленными частотами будет не меньшим, чем фактически наблюдаемое.

На основе вычисленной величины Р[] делают выводы:

а) если вероятность Р[] достаточно велика, то гипотезу о том, что фактическое распределение близко к теоретическому, можно считать подтвержденной;

б) если же вероятность Р[] мала, то гипотеза отвергается.

Границы критической области для критерия Колмогорова зависят от объема выборки: чем меньше число результатов наблюдений, тем выше необходимо устанавливать критическое значение вероятности.

Если число отказов при наблюдении составило 10-15, то , если больше 100, то . Однако необходимо отметить, что при больших объемах наблюдений лучше пользоваться критерием Пирсона .

Критерий Колмогорова значительно проще других критериев согласия, поэтому он находит широкое применение в исследовании надежности машин и элементов.