-
Дифференциал функции.
Если функция
дифференцируема в точке
,
т.е. имеет в этой точке конечную производную
,
то ее приращение
можно записать в виде
,
где
.
Главная, линейная относительно
часть
приращения функции
называется
дифференциалом
функции и обозначается
.
При достаточно малых
приращение функции приближенно равно
ее дифференциалу
и тогда имеем формулу приближенного
значения функции в точке
.
Пример 2.3.
Найти дифференциал функции
Решение.
Пример 2.4.
Вывести формулу
и найти приближенно значение
.
Решение.
Возьмем функцию
.
Тогда при малых
.
Следовательно,
.
Полагая
,
получим
.
Найдем приближенно
:
.
☼ Упражнения 2.3. Найти дифференциалы функций:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14) Вывести
приближенную формулу
и найти приближенно
;
15) Найти приближенно
.
☼
-
Производные и дифференциалы высших порядков.
Производные высших порядков.
Производная
от
называется производной
второго порядка
от функции
и обозначается
или
.
Производная от
называется производной
третьего порядка
от функции
и обозначается
или
и т.д. Производная n-го
порядка есть производная от производной
(n-1)-го
порядка, т.е.
.
Производные, начиная со второй, называются
производными высшего
порядка.
Пример 2.5.
Найти
для функции
.
Решение.
,
.
Отсюда
.
В некоторых простых случаях удается получить формулу, выражающую производную n-го порядка, с помощью которой при необходимости можно найти производную любого фиксированного порядка.
Пример 2.6.
Найти
для функции
.
Решение.
Найдем последовательно
:
;
;
. Очевидно, что при
каждом дифференцировании в результат
добавляется множитель
.
Поэтому
.
Пример 2.7.
Найти
для
функции
.
- О! Задачка!
- Да. И к тому же трудная, - продолжала
Джейн Уилкинсон. – А вы, я знаю,
трудностей не боитесь.
А.Кристи. «Смерть лорда Эдвера».
Решение.
Найдем последовательно
:
;
;
.
Очевидно,
что
,
тогда
.
Пример 2.8.
Найти
для функции
.
Решение.
Используем
тригонометрические формулы приведения
:
;
;
и т.д. Получаем
.
☼ Упражнения 2.4. Найти производные второго порядка от функций:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
☼
☼ Упражнения 2.5. Найти производные третьего порядка от функций:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
☼
☼ Упражнения 2.6. Найти производные n-го порядка от функций:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
.
☼
Если трудно
установить закономерность при нахождении
производной n-го
порядка произведения двух дифференцируемых
n
раз функций, используют формулу Лейбница:
.
Пример 2.9.
1)
.
Найти
.
Решение.
,
,
,
поэтому
.
2)
.
Найти
.
Решение.
,
,
,
,
.
3)
.
Найти
.
Решение.
,
,
,
,
,
,
.
☼ Упражнения 2.7. Найти производные указанных порядков для функций:
1)
,
найти
;
2)
,
найти
;
3)
,
найти
;
4)
,
найти
;
5)
,
найти
;
6)
,
найти
.
☼