- •I. Пределы
- •1.1. Понятие о пределе числовой последовательности.
- •1.2.Правила вычисления пределов последовательностей.
- •1.3. Число е.
- •1.4. Предел функции.
- •1.5. Правила вычисления пределов функции.
- •Раскрытие неопределенностей вида и .
- •1.7. Раскрытие неопределенности вида .
- •1.8. Два замечательных предела.
- •1.9. Сравнение бесконечно малых.
- •II. Дифференцирование.
- •Понятие производной.
- •Вычисление производных.
- •Дифференциал функции.
- •Производные и дифференциалы высших порядков.
- •2.5. Производная неявной функции и параметрически заданной функции.
- •Исследование функций и построение графиков.
- •Основные положения исследования функции.
- •Глава 1.
- •Глава 2.
- •Глава 3.
II. Дифференцирование.
-
Понятие производной.
По определению производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии . Производная обозначается или . Тогда .
Нахождение производной называется дифференцированием функции.
Пример 2.1. Найти производную функции
Решение.
.
☼ Упражнения 2.1. Используя определение производной, найти производные функций в точке : 1) ; 2) ; 3) . ☼
-
Вычисление производных.
Правила дифференцирования.
Если функции и имеют производные в точке , то в этой точке имеют производные их сумма, разность, произведение и частное, причём:
1) ;
2) ;
3) при ;
4) если функция дифференцируема в точке ,
а функция дифференцируема в точке ,
то сложная функция дифференцируема в точке и
.
Таблица производных.
№ |
|
|
№ |
|
|
1. |
|
0 |
10. |
|
|
2. |
|
|
11. |
|
|
3. |
|
|
12. |
|
|
4. |
|
|
13. |
|
|
5. |
|
|
14. |
|
|
6. |
|
|
15. |
|
|
7. |
|
|
16. |
|
|
8. |
|
|
17. |
|
|
9. |
|
|
18. |
|
|
Пример 2.2. Найти производные функций: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;
6) ; 7) ; 8) .
Решение.
1)=;
2);
3) ;
4)
=;
5) Чтобы найти производную функции , прологарифмируем уравнение: и тогда ;
6) Для того, чтобы найти производную степенно-показательной функции, прологарифмируем уравнение:;
7) Чтобы найти производную функции также прологарифмируем уравнение, получим сумму логарифмов и дифференцирование станет проще: ,, тогда
;
8) Используем логарифмическое дифференцирование для нахождения производной функции : ,
,
.
Я занимался до сих пор решением ряда
задач, ибо при изучении наук примеры
полезнее правил.
И. Ньютон. Всеобщая арифметика
☼ Упражнения 2.2. Найти производные функций:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ; 11) ;
12); 13) ; 14) ;
15) ; 16) ; 17) ; 18) ;
19) ; 20) ; 21) ; 22) ;
23) ; 24); 25); 26) ;
27) ; 28); 29) ; 30) , найти
; 31) ; 32) ; 33) ;
34) ; 35) ; 36) ; 37) ;
38) ; 39) ; 40); 41) ;
42) ; 43) ; 44) ; 45) 46)
47) 48) 49) 50) ;
51); 52) 53) ; 54) ; 55) ;
56) 57) ; 58)
59) 60) ; 61) 62)
63) 64) 65) 66)
67) 68) 69) 70)
71) 72) 73) 74)
75) 76) 77) 78)
79) 80) 81) 82)
83) 84) 85) 86)
87) 88) 89) 90) ;
91) ; 92) ; 93) . ☼