- •I. Пределы
- •1.1. Понятие о пределе числовой последовательности.
- •1.2.Правила вычисления пределов последовательностей.
- •1.3. Число е.
- •1.4. Предел функции.
- •1.5. Правила вычисления пределов функции.
- •Раскрытие неопределенностей вида и .
- •1.7. Раскрытие неопределенности вида .
- •1.8. Два замечательных предела.
- •1.9. Сравнение бесконечно малых.
- •II. Дифференцирование.
- •Понятие производной.
- •Вычисление производных.
- •Дифференциал функции.
- •Производные и дифференциалы высших порядков.
- •2.5. Производная неявной функции и параметрически заданной функции.
- •Исследование функций и построение графиков.
- •Основные положения исследования функции.
- •Глава 1.
- •Глава 2.
- •Глава 3.
Решение задач является наиболее характерной
и специфической разновидностью свободного
мышления.
У. Джеймс
I. Пределы
1.1. Понятие о пределе числовой последовательности.
Последовательностью называется совокупность значений функции натурального аргумента n.
Определение 1.1. Число а называется пределом числовой последовательности , если для любого существует такое число N, что при .
В этом случае пишут: . Определение предела последовательности можно записать с использованием логических кванторов ( - квантор общности, читается «для любого» или «для всех»; - квантор существования, читается «существует» или «найдется»):
, если
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Для того, чтобы последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была монотонной и ограниченной. Предел последовательности единственен, если он существует. Если , то последовательность называется бесконечно малой.
Пример 1.1. Рассмотрим последовательность . С ростом n члены последовательности уменьшаются и становятся сколь угодно мало отличающимися от 0. Докажем, что .
По определению предела , если . Положим . Тогда Это означает, что .
Если последовательности - бесконечно малые, а - ограниченная последовательность, то последовательности являются бесконечно малыми.
Пример 1.2. , т.к. - бесконечно малая, а - ограниченная последовательность. J
Если , то последовательность называется бесконечно большой. Если последовательность бесконечно большая, то она не ограничена.
Пример 1.3. , т.к. члены последовательности с ростом n растут и становятся сколь угодно большими при больших n. J
1.2.Правила вычисления пределов последовательностей.
1. ; 2. ; 3. ;
4. ; 5. при условии .
J Пример 1.4. Найти пределы : 1); 2) ; 3) .
Решение.
1) При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Преобразуем данную последовательность, разделив все члены дроби на . Используя правила нахождения пределов, найдём: .
2) Разделим все члены дроби на и используем необходимые правила: .
3) Разделим все члены дроби на , получим: . J
Воспользуемся результатами приведённых примеров. Если в условии задачи имеем неопределенность вида , то:
1) если старшие степени n в числителе и знаменателе равны, то ответ равен отношению
коэффициентов при данных степенях
2) если старшая степень n находится в числителе, то ответ будет ;
3) если старшая степень находится в знаменателе, то ответ будет 0.
Если , то последовательности и называются эквивалентными, обозначение: . В решении примеров последовательности можно заменять эквивалентными. Рассмотрим решение примера 1.4 с использованием эквивалентностей:
1) ; 2) ; 3) .
Пример 1.5. Найти .
Решение.
Рассмотрим числитель . Знаменатель эквивалентен 3n. Таким образом, . J
Пример 1.6. Найти
Решение.
Перейдем к эквивалентным последовательностям и найдем предел их отношения: . J
Пример 1.7. Найти
Решение.
Имеем неопределенность вида . Избавимся от иррациональности и рассмотрим неопределенность .
==
J
И от того, что что-то очень сложно, ты не
пытаешься это сделать? Научиться ходить
вначале тоже было тяжело, но ты позани-
мался, и теперь, глядя на тебя, может пока-
заться, что это все не трудно.
Р. Бах. Иллюзии
☼ Упражнения 1.1. Вычислить пределы:
1) ; 5) ; 9) ;
2) ; 6) ; 10) ;
3) ; 7) ; 11) ;
4) ; 8) ; 12) . ☼