Упражнения.

1. С помощью таблиц истинности докажите 9-12 законы алгебры логики.

2. Упростите формулы, используя законы склеивания:

1. ABC+А BC ;

2. ABC + BC ;

3. (А +В + С )(А + В  C).

3. Упростите формулы, используя законы поглощения:

1. A + AB + ABC + ADF;

2. AB+ABC+ABD;

3. A(A+B) (A+C);

4. AB(AC+AB).

3. Упростите формулы, используя законы алгебры логики:

1. A C + C  ( B +C) + ( A +B) C;

2. A  ( B +C) + A  B;

3. (А+C)  A  C  ( B +C) BC ;

4. A + B + C +B + (A +B + C A + B + C) + AB;

5. (АВ)(А(В + С));

6. (А + В) (В + С).

8. Решение логических задач

Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения тоже немало. Но наибольшее распространение получили следующие способы:

1. с помощью таблиц истинности;

2. путем составления логического уравнения (формулы) и приведения его к нормальной форме;

3. путем составления логического уравнения и решения его с помощью ЭВМ.

Выбор метода решения задачи определяется самостоятельно, учитывая формулировку задачи. Следует отметить, что метод, основанный на построении и анализе таблиц истинности, имеет ограниченное применение при увеличении количества переменных, поскольку усложняется построение и анализ этой таблицы.

Составление логического уравнения (формулы) и приведение его к нормальной форме

Для решения логических задач 2 способом (путем составления логического уравнения и приведения его к нормальной форме) нужно:

1. Внимательно изучить условие.

2. Выделить элементарные (простые) высказывания и обозначить их – как принято –большими латинскими буквами.

3. Записать условие задачи на языке алгебры логики, соединив простые высказывания в сложные при помощи логических операций &,  и т. д.

4. Полученное выражение упростить, используя законы алгебры логики; преобразуя выражения, заменить заведомо истинные или ложные высказывания (в соответствии с условием задачи) их значением.

5. Выбрать решение – набор значений, при котором выражение (п. 3) является истинным.

6. Проверить, удовлетворяет ли полученное решение условию задачи.

Задача 1. Кто из абитуриентов А, В, С и D играет, а кто не играет в шахматы, если известно:

а) если А или В играет, то С не играет;

б) если В не играет, то играют С и D;

в) С играет.

Решение

Запишем высказывания. Полученные выражения упростим:

а) (А + В) С = А + В +С = АВ +С;

б) В CD = B + CD;

в) С

Если все эти истинные высказывания логически перемножить, то получится истинное сложное высказывание:

(АВ + С)( B + CD) С = 1

Раскрыв скобки, получим: АВ С D = 1.

Ответ: C и D играют, А и В не играют.

Задача 2. Аня, Вика и Сергей решили пойти в кино. Учитель, хорошо знавший этих ребят, высказал предположения:

а) Аня пойдет только тогда, когда пойдут Вика и Сергей;

б) Аня и Сергей пойдут в кино вместе или же оба останутся дома;

в) Чтобы Сергей пошел в кино, необходимо, чтобы пошла Вика.

Из трех утверждений истинными оказались только два. Кто из ребят пошел в кино?

Решение

а) А ВС = А + ВС (X)

б) АС +АС (Y)

в) С  В = С +В (Z)

F = XYZ +YXZ +ZXY

(1) (2) (3)

1. X =А + ВС = А  ВС = А  (В +С) = АВ + АС ; XYZ = (АВ + АС)( АС +АС)(С +В) = (АВС + 0 + 0 + 0)( С +В) = 0 + 0 = 0

2. Y = АС +АС = АС АС = (А +С) (А + С) = АС + АС ; YXZ = (АС + АС)( А + ВС)(С +В) = (АС +АВС)(С +В) = АВС

3. Z = С +В = С В; ZXY = (С В)(А + ВС)( АС +АС) = (АС + АВС) (СВ) = 0

Ответ: А = 0, В = 1, С = 1, т.е. в кино пойдут Вика и Сергей, а Аня не пойдет.

Задача 3. На вопрос, какая завтра будет погода, синоптик ответил:

а) если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя;

б) если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра;

в) если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра.

Какая же будет погода? Что хотел сказать синоптик?

Решение

Введем простые высказывания:

В = “Будет ветер”

Р = “Будет пасмурная погода”

D = “Будет дождь”

Тогда составные условия задачи запишутся в виде:

1. В РD ; б) D РВ; с) Р DВ

Составив конъюнкцию этих высказываний и приведя ее к нормальной форме, получим ВРD. Таким образом, три высказывания синоптика можно заменить одним: “Будет ясная погода без дождя, но с ветром”.