- •1. Предмет и значение науки логики
- •2. Логические задачи. Табличный способ решения.
- •3. Элементы логики высказываний.
- •Задания.
- •1) Объясните, почему следующие предложения не являются высказываниями:
- •4. Логические операции
- •Сводная таблица логических операций
- •Упражнения.
- •Самостоятельная работа №1. (примерные задания в приложении 1, некоторые решения и ответы в приложении 2)
- •5. Таблицы истинности
- •Упражнения.
- •6. Решение логических задач с помощью таблиц истинности.
- •Самостоятельная работа №2.
- •7. Основные законы логики
- •Упражнения.
- •8. Решение логических задач
- •Составление логического уравнения (формулы) и приведение его к нормальной форме
- •Упражнения
- •Самостоятельная работа №3.
- •Составление логического уравнения и решение его с помощью эвм
- •Решение задач с помощью кругов Эйлера и с помощью графов Решение с помощью кругов Эйлера.
- •Решение с помощью графов.
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Экзаменационные и олимпиадные логические задачи (двгу, 1995 г.)
- •Приложение 1 Задания для самостоятельных работ
- •Самостоятельная работа №1.
- •Самостоятельная работа №2.
- •Самостоятельная работа №3.
- •Некоторые ответы и решения
- •Приложение 2 Логические задачи, составленные учащимися лицея №41
- •Приложение 3 Решение задачи (дистанционная заочная олимпиада по решению логических и математических задач, двгу, 2002 г.)
- •Приложение 4 (Сценарий проведения игры «Сильное звено».)
- •1 Тур. Является ли данное предложение высказыванием?
- •2 Тур. Записать сложное высказывание на языке алгебры логики
- •3 Тур. Определить результат.
- •4 Тур. Решить задачу.
- •Литература
Самостоятельная работа №2.
-
Проверить равносильность формул;
-
Составить таблицу истинности для формулы;
-
Решить задачу.
7. Основные законы логики
Существует 2 способа определения истинного значения формулы. Первый – с помощью таблиц истинности, а второй – с помощью приведения формулы к нормальной форме.
Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквиваленции, импликации, исключающей дизъюнкции, двойного отрицания, при этом знаки отрицания находятся только при переменных.
Приведение формулы к нормальной форме основывается на применении основных формул алгебры логики.
1. Основные законы логики |
А = А; А А= 0; А +А = 1; = А = А – закон двойного отрицания. |
|
2. Свойства констант |
0 = 1; А+0=А; А+1=1 |
1 = 0; А0 = 0; А 1 = А |
3. Закон идемпотентности (равносильности) |
А + А = А |
А А = А |
4. Законы коммутативности |
А + В = В + А |
А В = В А |
5. Законы ассоциативности |
(А + В) + С = А + (В + С) |
А (В С) = (А В) С |
6. Законы дистрибутивности |
А+(В С) = (А+В) (А+С) |
А(В+С) = АВ + АС |
7. Законы поглощения |
А + АВ = А |
А (А + В) = А |
8. Законы исключения (склеивания) |
А В + А В = В |
(А + В) (А + В ) = В |
Доказать законы можно, упросив левую (правую) часть тождества.
Справедливы также равенства:
9. Законы де Моргана
|
А + В =А В; А В =А +В;
А +В = А В; А В = А + В. |
Эти законы, а также равенства записанные ниже, можно доказать с помощью таблиц истинности, выписав все входящие в формулу подформулы.
При преобразовании логических выражений, содержащих операции строгой дизъюнкции, импликации и эквиваленции, удобно использовать равенства:
10. АВ
=А
+ В
11.
А В
= АВ
+АВ
= (А
+ В)
(А +В)
12.
А В = АВ
+ А
В
Пример. Доказать тождество:
( А + В + С )( А +В + С )(А +В +С )(А +В + С )(А +В +С ) =АВ +ВС
Р
1
3 2 4
( А + В + С ) ( А +В + С ) (А +В +С ) ( А +В + С ) ( А +В +С )
Выполним действия, применяя логические законы:
-
( ( А + С ) + В ) ( ( А + С ) +В ) = А + С (по закону исключения)
-
( (А +В )+С ) ( (А +В ) +С ) = А +В (по закону исключения)
-
( А + С ) ( ( А +В +С ) = (А + АВ + АС + АС) + ВС +СС = А + ВС
= А (з-н поглощения)
-
( А + ВС ) (А +В ) = АВ + (АВС +ВС) = АВ +ВС (по закону поглощения)