4. Нелинейные зависимости

Есть два подхода для проведения анализа данных, если функция спроса не является линейной:

- параметрический

- непараметрический

В первом случае подбираем подходящее семейство функций и по результатам измерения (опроса) оцениваем параметры. Пример: степенное семейство:

D(p) = cp_.

При этом полезно преобразование переменных, приводящее задачу к линейному виду. В случае степенного семейства необходимо прологарифмировать обе части последнего равенства. Тогда получим:

ln D(p) = ln c + ln p.

Затем обозначим:

у = ln D(p), x = ln p, b =ln c.

Исходя из введенных обозначений, имеем линейное уравнение:

у = x + b.

Задача оценивания параметров степенной зависимости сведена к ранее рассмотренной задаче оценивания параметров линейной функции.

Аналогично линейному случаю, определим оптимальную розничную цену p_опт. при различных значениях издержек. А именно, решим задачу:

(p – p_0.)D^*(p)

в случае степенной зависимости:

(p – p_0.)с^*p^α*→ .

Точка, в которой достигается максимум, не меняется при умножении максимизируемой функции на константу. Поэтому переходим к задаче:

(p – p_0.)p^α* = f(p)→ .

Для нахождения максимума функции продифференцируем ее и приравняем производную к 0:

.

Продифференцируем f(p), используя правило дифференцирования произведения функций:

^α* + (p – p₀)( α^*) p^{α* -1} =0.

Вынесем общий множитель за скобки:

p^α*-1[p + (p – p₀)(α^*)] =0.

Сократим на ненулевой множитель (p^α*-1):

p + (p – p₀)(α^*) = 0.

Итак, необходимо решить линейное уравнение относительно неизвестного p:

p + α^*p - p_0.α^* = 0.

Сгруппируем члены с p:

(1 + α^*)p = p_0.α^*.

Получим оптимальное значение розничной цены:

p_опт. =

Непараметрический подход применяется тогда, когда подходящее семейство функций подобрать не удается. Тогда используют подходы на основе непараметрических оценок плотности распределения.

= -1,5

b^*= = 3,047; = b* - *p_ср.= 3,047 – (-1,5)*5,834 = 11,805

Таким образом, теоретическая функция спроса имеет вид:

D^**(p) = (-1,5)p + 11,623

= = = (e^{ln p})^-1,5 = 133920,284p^-1,5,

D^**(p) = 133920,284p^-1,5,

Оценка среднеквадратического отклонения такова:

= = 14,5

Таблица 5

i	pi	ni		xi		yi		xi*Ni		yi*Ni		xi2*Ni		xi* yi*Ni		yi*		Ni( yi –yi*)		D**(p)		Ni[D(pi)-D**(pi)]2
1	100	1		4,605		3,912		4,605		3,912		21,206		18,015		4,897		-0,985		133,90		7039,21
2	150	3		5,011		3,892		15,033		11,676		75,330		58,508		4,288		-1,190		72,80		1699,32
3	170	1		5,136		3,829		5,136		3,829		26,378		19,666		4,101		-0,272		60,40		207,36
4	180	1		5,193		3,807		5,193		3,807		26,967		19,770		4,015		-0,207		55,45		109,20
5	190	1		5,247		3,784		5,247		3,784		27,531		19,855		3,934		-0,151		51,13		50,84
6	200	3		5,298		3,761		15,894		11,283		84,206		59,777		3,836		-0,291		46,34		33,47
7	250	3		5,521		3,689		16,563		11,067		91,444		61,101		3,552		0,500		34,87		78,95
8	280	1		5,635		3,611		5,635		3,611		31,753		20,348		3,353		0,260		28,58		70,90
9	290	1		5,670		3,584		5,670		3,584		32,149		20,321		3,326		0,284		27,82		66,91
10	300	6		5,704		3,555		34,224		21,330		195,214		121,666		3,287		1,840		26,77		511,16
11	350	4		5,860		3,367		23,440		13,468		137,358		78,922		3,070		1,410		21,54		222,61
12	370	2		5,914		3,219		11,828		6,438		69,951		38,074		2,935		0,601		18,82		76,38
13	390	1		5,966		3,135		5,966		3,135		35,593		18,703		2,855		0,280		17,38		31,58
14	400	2		5,991		3,091		11,982		6,182		71,784		37,036		2,815		0,550		16,70		56,18
15	420	1		6,040		2,996		6,040		2,996		36,482		18,096		2,741		0,300		15,50		20,25
16	450	3		6,109		2,944		18,327		8,832		111,960		53,955		2,641		0,910		14,03		74,10
17	470	1		6,153		2,773		6,153		2,773		37,859		17,062		2,606		0,200		13,54		2,13
18	500	5		6,215		2,708		31,075		13,540		193,131		84,151		2,484		1,130		11,97		45,90
19	540	1		6,292		2,303		6,292		2,303		39,589		14,490		2,349		-0,064		10,47		0,22
20	550	3		6,310		2,197		18,930		6,591		119,448		41,589		2,340		-0,428		10,38		5,71
21	570	1		6,346		1,792		6,346		1,792		40,272		11,372		2,286		-0,484		9,84		14,75
22	600	4		6,397		1,609		25,588		6,436		163,686		41,171		2,209		-2,402		9,11		67,57
23	700	1		6,551		0		6,551		0		42,916		0		1,978		-1,978		7,23		38,81
			50		133,164		69,558		291,718		152,369		1712,207		873,648				-0,187				10523,51
									5,834		3,047												SS

Таблица 6