Числовые характеристики дискретной случайной величины

Пусть имеем дискретную случайную величину Х с законом распределения

Х	х1	х2	…	хn
Р(Х=хk)	р1	р2	…	рn

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности

.

Для бесконечной случайной величины: .

Можно показать, что при большом числе испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений близко к ее математическому ожиданию.

Математическое ожидание случайной величины Х называется центром распределения вероятностей случайной величины.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами.

1. M[C]=C, где С=const.

2. M[CX]=C·M[X].

3. Для независимых случайных величин Х и У М[XY]= M[X] · M[Y].

4. Для любых случайных величин Х и У М[X+Y]= M[X] + M[Y].

Характеристиками рассеивания возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднеквадратичное отклонение.

Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения значений величины от ее математического ожидания:

.

Дисперсию удобно вычислять по формуле

D[X]= M[X²] – (M[X])².

Дисперсия обладает следующими свойствами.

1. D[C]=0, где С=const.

2. D[CX]=C²·D[X].

3. Для независимых случайных величин Х и У D[X+Y]= D[X] + D[Y].

В частности, из свойств дисперсии следует, что

D[С+Х]= D[X]

D[X - Y]= D[X] + D[Y].

Среднеквадратичным отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

.

Примеры. 1. Случайная величина Х задана следующим законом распределения:

Х	2	3	4
Р	0,3	0,4	0,3

Найдем ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

M[X]=2·0,3+3·0,4+4·0,3=3;

D[X]=(2 – 3)²·0,3+(3 – 3)²·0,4+(4 – 3)²·0,3=0,6;

.

2. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее три раза подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают в урну. Пусть Х – число извлеченных белых шаров. Составить закон распределения этой величины, определить ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

Вероятность вынуть из урны белый шар р=0,6. Чтобы найти закон распределения случайной величины Х, воспользуемся формулой Бернулли, для которой n=3.

.

.

.

.

Итак, закон распределения имеет вид

Х	0	1	2	3
Р	0,064	0,288	0,432	0,216

Определим числовые характеристики случайной величины.

M[X]=0,288+0,864+0,648=1,8

D[X]= M[X²] – (M[X])²=1·0,288+4·0,432+9·0,216 – 3,24=0,72.

.

Биномиальный закон распределения дискретной случайной величины

Закон распределения дискретной случайной величины Х, которая может принимать n+1 значение 0,1,2,…,n, описываемый формулой Бернулли , называется биномиальным. Запишем биномиальный закон в виде таблицы

Х	0	1	2	…	n
Р				…	pn

Определим числовые характеристики биномиального распределения. Пусть Х – число появлений события А в n испытаниях. Если обозначим через X_k – число появлений события А в k-ом испытании, то .

Закон распределения случайной величины X_k имеет вид

Xk	0	1
Р	q	P

Легко видеть, что M[X_k]=p, D[X_k]=pq.

Тогда для случайной величины Х

.

.

.

Закон распределения Пуассона