Некоторые формулы комбинаторики

Рассмотрим некоторое множество Х, состоящее из n элементов . Будем выбирать из этого множества различные упорядоченные подмножества У из k элементов. Размещением из n элементов множества Х по k элементам назовем любой упорядоченный набор элементов множества Х.

Если выбор элементов множества У из Х происходит с возвращением, т.е. каждый элемент множества Х может быть выбран несколько раз, то число размещений из n по k находится по формуле n^k.

Если же выбор делается без возвращения, т.е. каждый элемент множества Х можно выбирать только один раз, то количество размещений из n по k обозначается и определяется равенством .

Например. Пусть даны пять цифр: 1; 2; 3; 4; 5. Определим сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр. Если цифры могут повторяться, то количество трехзначных чисел будет .

Если цифры не повторяются, то .

Частный случай размещения при n=k называется перестановкой из n элементов. Число всех перестановок из n элементов равно .

Пусть теперь из множества Х выбирается неупорядоченное подмножество У, т.е. два подмножества У₁ и У₂ из k элементов, состоящие из одних и тех же элементов и отличающиеся их порядком будем считать одинаковыми. Сочетаниями из n элементов по k называются подмножества из k элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Общее число всех сочетаний из n по k обозначается и равно

.

В дальнейшем будем считать .

Заметим, что справедливо равенство .

Например. В группе из 27 человек нужно выбрать трех делегатов на профсоюзную конференцию. Найдем сколькими способами это можно сделать

.

Случайные события. Классическое определение вероятности

Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.

Рассмотрим виды событий.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит.

Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.

Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Будем говорить, что случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть случаями. Событие такой группы называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого события влечет появление А.

Например, в урне находится 8 шаров, на каждом из которых поставлено по одной цифре от 1 до 8. Шары с цифрами 1, 2, 3 красные, остальные – черные. Появление шара с цифрой 1 (2 или 3) есть событие, благоприятствующее появлению красного шара.

Вероятностью р события А называется отношение числа m благоприятствующих случаев к числу всех возможных случаев n, образующих полную группу равновозможных несовместных событий

.

Заметим, что вероятность достоверного события р=1. Вероятность невозможного события р=0. Кроме того из определения вероятности следует, что для любого события А

.

Примеры. 1. В урне 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превосходит 10?

Пусть событие А – номер вынутого шара не превосходит 10. Число случаев благоприятствующих появлению события А равно числу всех возможных случаев m=n=10. Следовательно, Р(А)=1.

2. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?

Так как синих шаров в урне нет, то m=0, n=15. Следовательно, искомая вероятность р=0.

3. Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Какова вероятность появления карты пиковой масти?

Здесь всего случаев n=36. Событие А – появление карты пиковой масти. Число случаев, благоприятствующих появлению события А, m=9. Следовательно, .

4. Бросаются одновременно две монеты. Какова вероятность выпадения герба на обеих монетах?

Составим схему возможных случаев.

	Первая монета	Вторая монета
1 случай 2 случай 3 случай 4 случай	герб герб не герб не герб	герб не герб герб не герб

Всего случаев 4. Благоприятствующих случаев 1. Следовательно, р=1/4.

5. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара белые?

Вынуть два шара из десяти можно следующим числом способов: . Число случаев, когда среди этих двух шаров будут оба белые, равно . Искомая вероятность будет .

6. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц три женщины.

Общее число возможных исходов равно числу способов, которыми можно отобрать 7 человек из 10, т.е. .

Найдем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: трех женщин можно выбрать из четырех способами; при этом остальные четыре человека должны быть мужчинами, их можно отобрать способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно .

Искомая вероятность .

7. Пять книг расставляются на полку. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся рядом.

Число всех способов, которыми можно расставить на полке пять книг, равно числу перестановок из пяти элементов .

Подсчитаем число благоприятствующих случаев. Две определенные книги можно поставить рядом 2!=2 способами. Оставшиеся книги можно расположить на полке способами. Поэтому .

Итак, .