Зависимые события. Условная вероятность. Формула полной вероятности

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность появления события А зависит от того, произошло или нет событие В.

Вероятность того, что произошло А при условии, что произошло событие В, будем обозначать P(A/B) и называть условной вероятностью события А при условии В.

Например. В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие В – появление белого шара при первом вынимании. Событие А – появление белого шара при втором вынимании.

Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет . Вероятность события А при условии, что событие В не произошло, будет .

Справедливы следующие теоремы.

Теорема. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

.

В частности, отсюда получаем .

Теорема. Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий В₁, В₂,…В_n, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

.

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Примеры. 1. Вероятность изготовления годного изделия данным станком 0,9. Вероятность появления изделия первого сорта среди годных изделий 0,8. Определить вероятность изготовления изделия первого сорта данным станком.

Событие В – изготовление годного изделия данным станком; событие А – появление изделия первого сорта. Очевидно, Р(В)=0,9, . Искомая вероятность будет

.

2. К экзамену надо подготовить 25 вопросов. Студент пришел на экзамен, зная 20. Какова вероятность того, что студент ответит на все три вопроса билета?

Пусть события: А – студент знает первый вопрос;

В – студент знает второй вопрос;

С – студент знает третий вопрос.

Тогда нужная вероятность будет

.

3. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, ч то извлеченный шар окажется белым, если равно возможны все предположения о первоначальном составе шаров.

Обозначим события: А – извлечен белый шар;

В₁ – первоначально белых шаров в урне не было;

В₂ – первоначально в урне был один белый шар;

В₃ – первоначально в урне было два белых шара.

Заметим, что , , , . Тогда по формуле полной вероятности

.

4. В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с прицелом, равна 0,95, для винтовки без прицела соответствующая вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок делает один выстрел из произвольной винтовки.

Пусть А – мишень поражена; В₁ – произведен выстрел из винтовки с прицелом; В₁ – выстрел из винтовки без прицела. Тогда , и по формуле полной вероятности

.

5. По цели произведено три последовательных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле р₁=0,3, при втором р₂=0,6, при третьем р₃=0,8. При одном попадании вероятность поражения цели r₁=0,4, при двух попаданиях r₂=0,7, при трех попаданиях r₃=1. Определить вероятность поражения цели при трех выстрелах.

Рассмотрим полную группу несовместных событий:

В₁ – было одно попадание;

В₂ – было два попадания;

В₃ – было три попадания;

В₄ – не было ни одного попадания.

Определим вероятность каждого события. По теоремам умножения и сложения вероятностей будем иметь

.

.

.

.

Пусть событие А – цель поражена. Выпишем условные вероятности поражения цели при осуществлении каждого из событий В₁, В₂, В₃, и В₄.

, , , .

Тогда по формуле полной вероятности

Формула Байеса

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий В₁, В₂,…В_n вероятности появления которых , ,…,. Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий В₁, В₂,…В_n, которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности

.

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез , ,…,. По теореме умножения вероятностей

,

откуда

.

Аналогично, для остальных гипотез

, i=1,2,…,n.

Полученная формула называется формулой Байеса. Здесь Р(А) определяется формулой полной вероятности.

Примеры. 1. 30% приборов собирает специалист высокой квалификации и 70% специалист средней квалификации. Надежность работы прибора, собранного специалистом высокой квалификации, 0,9, надежность прибора, собранного специалистом средней квалификации, 0,8. Взятый прибор оказался надежным. Определить вероятность того, что он собран специалистом высокой квалификации.

Событие А – безотказная работа прибора;

В₁ – прибор собран специалистом высокой квалификации;

В₂ – прибор собран специалистом средней квалификации.

Выпишем вероятности гипотез: , .

Условные вероятности события А: , .

Вероятность события А: .

Определим вероятность гипотезы В₁ при условии, что событие А произошло

.

2. Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие попало, если вероятности попадания в цель каждым из орудий равны р₁=0,4, р₂=0,3, р₃=0,5.

Обозначим события: А – два орудия попали в цель;

В₁ – первое орудие попало в цель;

В₂ – первое орудие не попало в цель.

Вероятности гипотез: , .

Условные вероятности события А:

.

.

По формуле Байеса

.