§ 6. Инвариантность уравнений электродинамики

Итак, потенциалы .и А, оказывается, образуют в совокупно­сти четырехвектор, который мы обозначили через А_ , а вол­новое уравнение (полное уравнение, выражающее А_ через j_) можно записать в виде (25.22). Это уравнение вместе с сохране­нием заряда (25.19) составляют фундаментальный закон электромагнитного поля:

(25.29)

И вот, пожалуйста, все уравнения Максвелла просто и красиво записываются всего в одной строке. Достигли ли мы чего-ни­будь, записав их в таком виде, кроме, разумеется, красоты и простоты? Прежде всего, есть ли здесь какое-нибудь отличие от того, что было раньше, когда мы выписывали их во всем разнообразии компонент? Можно ли из этих уравнений получить не­что, чего нельзя получить из волновых уравнений для потенциа­лов, содержащих заряды и токи? Ответ вполне определенный — конечно, нельзя. Единственное, что мы сделали — это изменили названия, т. е. использовали новые обозначения. Мы нарисо­вали квадратик для обозначения производных, но это по-преж­нему не более и не менее как вторая производная по t минус вторая производная по х, минус вторая производная по у, ми­нус вторая производная по z. А значок , говорит, что у нас есть четыре уравнения, по одному для каждого из значений =t, х, у или z. Какой же тогда смысл того, что уравнения можно записать в столь простой форме? С точки зрения получения чего-то нового — никакого. Хотя, возможно, про­стота уравнений и выражает определенную простоту природы. Сейчас я покажу вам нечто интересное, чему мы понемногу научились. Можно сказать, что все законы физики описываются

одним уравнением:

U=0. (25.30)

Не правда ли, удивительно простое уравнение! Конечно, нуж­но еще знать, что обозначает символ U. Это физическая ве­личина, которую мы будем называть «несообразностью» ситуации. У нас даже есть для нее формула. Вот как вычисляется эта несообразность: вы берете все физические законы и записы­ваете их в особой форме. Например, вы взяли закон механики F=ma и записали его в виде F-ma=0.

Теперь вы можете ве­личину (F-mа), которая, разумеется, в нашем мире должна быть нулем, назвать «несообразностью» механики. Затем вы бе­рете квадрат этой несообразности, обозначаете его через U₁ и называете ее «механической несообразностью». Другими сло­вами, вы берете

(25.31)

который можно назвать «гауссовой электрической несообраз­ностью». Продолжая этот процесс, вы можете ввести U₃, U₄ и т. д. для каждого из физических законов.

Наконец, полной несообразностью мира U вы называете сумму U_i,- для каждого из различных явлений, т. е. U=2Ui .

И тогда «великий закон природы» гласит:

(25.32)

Этот «закон», разумеется, утверждает лишь, что сумма квад­ратов всех отдельных отклонений равна нулю, однако един­ственный способ сделать сумму квадратов множества членов равной нулю — это приравнять нулю каждое из ее слагаемых.

Таким образом, «удивительно простой закон» (25.32) экви­валентен целому ряду уравнений, которые вы писали первона­чально. Поэтому совершенно очевидно, что простые обозначе­ния, скрывающие сложности за определением символов,— это еще не истинная простота. Это только трюк. Так и в выражении (25.32) за кажущейся простотой скрывается несколько уравне­ний; это снова не более чем трюк. Развернув их, вы снова полу­чите то, что было раньше.

Однако закон электродинамики, написанный в форме урав­нения (25.29), содержит нечто большее, чем простую запись; в векторном анализе, кроме простоты записи, также есть нечто большее. Тот факт, что уравнения электромагнетизма можно за­писать в особых обозначениях, которые специально приспособ­лены для четырехмерной геометрии преобразований Лоренца, иначе говоря, как векторные уравнения в четырехмерном мире, означает, что они инвариантны относительно преобразований Лоренца. Именно потому, что уравнения Максвелла инвариантны относительно этих преобразований, их можно записать в столь красивом виде.

В том, что законы электродинамики можно записать в форме элегантного уравнения (25.29), нет ничего случайного. Теория относительности была развита именно потому, что эксперимен­тально подтвердилась неизменность предсказанных уравнением Максвелла явлений в любой инерциальной системе. Именно при изучении трансформационных свойств уравнений Максвелла Лоренц открыл свои преобразования как преобразования, ос­тавляющие инвариантными эти уравнения.

Однако есть и другая причина записывать уравнения в та­ком виде. Было обнаружено, что все законы физики должны быть инвариантными относительно преобразований Лоренца (первый об этом догадался Эйнштейн). Таково содержание прин­ципа относительности. Поэтому если вы изобрели обозначения, которые сразу же показывают, инвариантен ли выписанный нами закон, то можно гарантировать, что при попытке соз­дать новую теорию вы будете писать только уравнения, согла­сующиеся с принципом относительности.

В простоте уравнений Максвелла в этих частных обозначе­ниях никакого чуда нет. Обозначения специально были приду­маны именно для них. Самая интересная с физической точки зрения вещь состоит в том, что любой физический закон (будь то распространение мезонных волн, или поведение нейтрино в -распаде, или что-то другое) должен иметь ту же самую инвариантность относительно тех же преобразований. Так что если ваш звездолет движется с постоянной скоростью, то все законы природы вместе преобразуются так, что никаких новых явлений не возникает. Именно благодаря тому, что принцип относитель­ности является законом природы, уравнения нашего мира в четырехмерных обозначениях должны выглядеть гораздо проще.

*Вас может удивить, почему же мы не пользуемся реакцией

Или даже

для которой, несомненно, требуется меньшая энергия? Все дело в прин­ципе, называемом сохранением барионного заряда, согласно которому вели­чина, равная числу протонов минус число антипротонов, не может изме­ниться. В левой стороне нашей реакции эта величина равна 2. Следова­тельно, если мы хотим справа иметь антипротон, то ему должны сопут­ствовать еще три протона (или других бариона).

* В английском оригинале «unworldliness». — Прим. ред.