§ 4. Эквивалентные контуры

Положим, мы подключили генератор £ к цепи, в которой есть множество сложных переплетений импедансов (схематиче­ски это показано на фиг. 22.15, а). Все уравнения, вытекающие из правил Кирхгофа, линейны, и поэтому, вычислив из них ток I через генераторы, мы получим величину I, пропорциональную . Можно написать

где теперь z_эфф— это некоторое комплексное число, алгебраиче­ская функция всех элементов цепи. (Если в цепи нет никаких

генераторов, кроме упомянутого, то в формуле не будет добавочной части, не зависящей от .) Но получившееся уравнение — это как раз то, которое нужно было бы написать для схемы фиг. 22.15, б. И покуда нас интересует только то, что происходит слева от за­жимов а и b, до тех пор обе схемы фиг. 22.15 эквивалентны.

Фиг. 22.15. Любая сеть пассивных элементов с двумя выводами эквивалентна эффективному импедансу.

Фиг. 22.16. Любую сеть с двумя выводами можно заменить генератором, последовательно соединенным с импедансом.

И поэтому можно сделать общее утверждение, что любую цепь пассивных элементов с двумя выводами можно заменить одним-единственным импедансом z_эфф не изменив в остальной части цепи ни токов, ни напряжений. Утверждение это, естественно, всего лишь мелкое замечание о том, что следует из правил Кирхгофа, а в конечном счете — из ли­нейности уравнений Максвелла.

Идею эту можно обобщить на схемы, в которые входят как генераторы, так и импедансы. Представьте, что мы глядим на эту схему «с точки зрения» одного из импедансов, который мы обозначим z_n (фиг. 22.16, а). Если бы решить уравнение для то­ка, мы бы увидели, что напряжение V_n между зажимами а и b есть линейная функция I, которую можно записать в виде

(22.22)

Здесь А и В зависят от генераторов и импедансов в цепи слева от зажимов. Например, в схеме, показанной на фиг. 22.13, мы находим V₁=I₁z_l . Это можно переписать [используя (22.20)] в виде

(22.23)

Тогда полное решение мы получаем, комбинируя это урав­нение с уравнением для импеданса z₁ т. е. с V₁=I₁z₁, или в общем случае комбинируя (22.22) с

Если мы рассмотрим теперь случай, когда z_n подключается к простой цепи из последовательно соединенных генератора и импеданса (см. фиг. 22.15, б), то уравнение, соответствующее (22.22), примет вид

что совпадает с (22.22), если принять S_эфф=A и z_эфф=B. Значит, если нас интересует лишь то, что происходит направо от выводов а и b, то произвольную схему фиг. 22.16 можно всегда заменить эквивалентным сочетанием генератора, последовательно соеди­ненного с импедансом.

§ 5. Энергия

Мы видели, что для создания в индуктивности тока I надо из внешней цепи доставить энергию U=¹/₂LI². Когда ток спадает до нуля, эта энергия уводится обратно во внешнюю цепь.

В идеальной индуктивности механизма потерь энергии нет. Когда через индуктивность течет переменный ток, энергия пере­текает то туда, то сюда — от индуктивности к остальной части цепи и обратно, но средняя скорость, с какой энергия передается в цепь, равна нулю. Мы говорим, что индуктивность — недиссипативный элемент, в ней не растрачивается (не «диссипирует») электрическая энергия.

Точно так же возвращается во внешнюю цепь и энергия кон­денсатора U=¹/₂СV², когда он разряжается. Когда он стоит в цепи переменного тока, то энергия течет то в него, то из него, но полный поток энергии за каждый цикл равен нулю. Идеальный конденсатор — тоже недиссипативный элемент.

Мы знаем, что э. д. с.— это источник энергии. Когда ток I течет в направлении э.д.с., то энергия поставляется во внешнюю цепь со скоростью dU/dt=I. Если электричество гонят против э.д.с. (с помощью других генераторов), то э. д. с. поглощает энергию со скоростью I; поскольку I отрицательно, то и dU/dt отрицательно.

Если генератор подключен к сопротивлению R, то ток через сопротивление равен I=/R. Энергия, поставляемая генерато­ром со скоростью I, поглощается сопротивлением. Эта энер­гия тратится на нагрев сопротивления и для электрической энергии цепи фактически уже потеряна. Мы говорим, что электрическая энергия рассеивается, диссипирует в сопротивлении. Скорость, с какой она рассеивается, равна dU/dt=RI².

В цепи переменного тока средняя скорость потерь энергии в сопротивлении — это среднее значение RI² за цикл. Поскольку I=I'e^it (что, собственно, означает, что I меняется как cost), то среднее значение I² за цикл равно |I'|²/2, потому что ток в максимуме — это |I'[, а среднее значение cos² cat равно ¹/₂.

Фиг. 22.17. Любой импеданс эквивалентен последовательному соединению чистого сопротивле­ния и чистого реактанса.

А что можно сказать о потерях энергии, когда генератор подключен к произвольному импедансу z? (Под «потерями» мы, конечно, понимаем превращение электрической энергии в теп­ловую.) Всякий импеданс z может быть разбит на действитель­ную и мнимую части, т. е.

z = R + iX, (22.24)

где R и X — числа действительные. С точки зрения эквивалент­ных схем можно сказать, что всякий импеданс эквивалентен сопротивлению, последовательно соединенному с чисто мни­мым импедансом, называемым реактансом

(фиг. 22.17).

Мы уже видели раньше, что любая цепь, содержащая только L и C, обладает импедансом, выражаемым чисто мнимым числом. А раз в любом из L и С в среднем никаких потерь не бывает, то и в чистом реактансе, в котором имеются только L и С, по­терь энергии не бывает. Можно показать, что это должно быть верно для всякого реактанса.

Если генератор с э. д. с.  подсоединен к импедансу z (см. фиг. 22.17), то его

э. д. с. должна быть связана с током I из генератора соотношением

 = I(R + iX). (22.25)

Чтобы найти, с какой средней скоростью подводится энергия, нужно усреднить произведение I. Но теперь следует быть ос­торожным. Оперируя с такими произведениями, надо иметь дело только с действительными величинами (t) и I(t). (Дейст­вительные части комплексных функций изображают настоящие физические величины только тогда, когда уравнения линейны; сейчас же речь идет о произведении, а это, несомненно, вещь нелинейная.)

Пусть мы начали отсчитывать t так, что амплитуда I' оказа­лась действительным числом, скажем I₀; тогда истинное изме­нение I во времени дается формулой

I=I₀cost.

.

Входящая в уравнение (22.25) э.д.с.— это действительная часть

или

(22.26)

Два слагаемых в (22.26) представляют падение напряжений на R и X (см. фиг. 22.17). Мы видим, что падение напряжения на сопротивлении находится в фазе с током, тогда как падение напряжения на чисто реактивной части находится с током в противофазе.

Средняя скорость потерь энергии <Р>_ср, текущей от гене­ратора, есть интеграл от произведения I за один цикл, делен­ный на период Т; иными словами,

Первый интеграл равен ¹/₂I²₀R, а второй равен нулю. Стало быть, средняя потеря энергии в импедансе z—R+iX зависит лишь от действительной части z и равна I²₀R/2. Это согласуется с нашим прежним выводом о потерях энергии в сопротивле­нии. В реактивной части потерь энергии не бывает.