2.10. Мощность в цепи гармонического тока

Ранее рассматривались энергетические соотношения в отдельных элементах R, L и С при гармоническом токе.

Разберем теперь более общий случай участка электрической цепи, напряжение на котором равно u = U_mcosωt, а ток i = I_mcos(ωt  ).

Мгновенная мощность, поступающая в цепь,

p = U_mI_mcostcos(ωt  ) = UI[cos+cos(2ωt  )]. (2.25)

состоит из двух слагающих: постоянной величины IUcos и гармонической, имеющей удвоенную частоту по сравнению с частотой напряжения и тока.

Среднее значение второй слагающей за время Т, в течение которого она совершает два цикла изменения, равно нулю. Поэтому средняя мощность, поступающая в рассматриваемый участок цепи,

. (2.26)

Множитель cos носит название коэффициента мощности.

Как видно из (2.26), активная мощность равна произведению действующих значений напряжения и тока, умноженному на коэффициент мощности.

Чем ближе угол  к нулю, тем ближе cos к единице и, следовательно, тем меньше требуется величина тока I, при которой заданная средняя мощность Р при данном напряжении U будет передана от источника к приемнику.

Повышение коэффициента мощности промышленных электроустановок представляет важную технико-экономическую задачу.

Выражение средней мощности может быть преобразовано с учетом (2.18) и (2.23):

Р = zI²cos = RI²;

Р = yU²cos = gU².

Активная мощность может быть также выражена через активную составляющую напряжения (U_a = Ucos) или тока (I_а = Icos):

P = U_aI; P = UI_a.

Рассмотрим более общий случай активно-реактивной цепи, например цепи, содержащей сопротивление и индуктивность; при этом

0 <  < и 0 < cos< 1.

Согласно (2.25) мгновенная мощность колеблется с удвоенной угловой частотой 2 относительно линии, отстоящей от оси времени на P = UIcos (рисунок 2.22).

В промежутки времени, когда и и i имеют одинаковые знаки, мгновенная мощность положительна; энергия поступает от источника в приемник, преобразуясь в сопротивлении в тепло и запасаясь в магнитном поле индуктивности.

В промежутки времени, когда и и i имеют разные знаки, мгновенная мощность отрицательна и энергия частично возвращается приемником источнику. Как видно из рисунка 2.22, в течение большей части периода мгновенная мощность положительна и соответственно положительная (расположенная над осью времени) площадь кривой р преобладает над отрицательной площадью кривой р. В результате активная мощность Р > 0.

Аналогичная картина получается и в случае активно-емкостной цепи.

В электрических системах, в которых источниками электрической энергии являются генераторы переменного тока, мощность получается от первичных двигателей, приводящих генераторы во вращение. В радиотехнике и электронике, где гармонические колебания создаются с помощью электронных или полупроводниковых приборов, мощность получается от источников постоянного тока, питающих электронные генераторы или другого рода устройства.

Величина, равная произведению действующих значений тока и напряжения на зажимах цепи

S = UI, (2.27)

называется полной мощностью цепи и измеряется в вольт-амперах (ВА). Следует заметить, что амплитуда гармонической составляющей мгновенной мощности (2.25) численно равна полной мощности.

На основании (2.26) и (2.27) коэффициент мощности равен отношению активной мощности к полной:

cos = .

При расчетах электрических цепей и на практике в эксплуатации пользуются также понятием реактивная мощность, которая вычисляется по формуле Q = UIsin и является мерой потребления (или выработки) реактивного тока.

Эта мощность измеряется в реактивных вольт-амперах (вар).

Очевидно,

S² = P² + Q²; sin = ; tg = .

Выражение реактивной мощности может быть преобразовано с учетом (2.18) и (2.23):

Q = zI²sin = xI²;

Q = yI²sin = bU².

Реактивная мощность может быть также выражена через реактивную составляющую тока (I_р = Isin) или напряжения (U_p = Usin): Q = UI_p; Q = U_pI.

В соответствии с принятым ранее правилом знаков для угла  реактивная мощность положительна при отстающем токе (индуктивная нагрузка) и отрицательна при опережающем токе (емкостная нагрузка) .

Понятия активная (средняя), реактивная и полная мощности являются удобными определениями мощностей, которые прочно укоренились на практике.

Реактивная мощность, подводимая к индуктивности, может быть представлена в следующем виде

,

где W_Lmax  максимальное значение энергии, периодически запасаемой индуктивностью.

Реактивная мощность, подводимая к конденсатору, равна

Q_С = Uisin(-) = -UI = -ωCU² = -ω = -ωW_Cmax,

где W_Cmax – максимальное значение энергии, периодически запасаемой емкостью.

Реактивная мощность на зажимах цепи, содержащей индуктивность и емкость, пропорциональна разности максимальных значений энергии в магнитном и электрических полях:

Q = ω(W_Lmax  W_Cmax). (2.28)

В таблице 2.1 дана сводка уравнений основных элементов цепи в общей форме (дифференциальной, интегральной) и при гармоническом режиме для мгновенных и действующих значений.

В таблице 2.2 приведены выражения полных сопротивлений и проводимостей цепи для различных сочетаний элементов R, L, C и соответствующие им значения tg.

Таблица 2.1 Уравнения основных элементов электрической цепи

Элемент	Общая форма	Гармонический режим
		мгновенные значения	действующие значения
Сопротивление	u = Ri i=gu	u = RImcos(ωt+) i = gUmcos(ωt+)	U = RI I = gU
Индуктивность	u = L i =	u = ωLImcos(ωt+) i =	U = ωLI I = U
Ёмкость	u = i = C	u = Imcos(ωt+) i=ωCUmcos(ωt++)	U = I I = ωCU

Таблица 2.2 Выражения для полных сопротивлений и проводимостей

Цепь	Последовательное соединение
	Z	tg
R, L
R, C
R, L C
Цепь	Параллельное соединение
	Y	tg
R, L
R, C
R, L C