2.2 Среднее и действующее значения функции

Среднее значение периодической функции f(t) за период Т определяется по формуле

F_ср= . (2.4)

Отсюда видно, что среднее значение за период равно высоте прямоугольника с основанием Т, площадь которого равна площади, ограниченной функцией f(t) и осью абсцисс за один период.

В случае гармонического колебания среднее значение за период равно нулю, так как площадь положительной полуволны компенсируется площадью отрицательной полуволны гармонической функции. Поэтому здесь пользуются понятием среднего значения функции, взятой по абсолютной величине, или, что то же, среднего полупериодного значения, соответствующего положительной полуволне гармонической функции (рисунок 2.2).

В соответствии с этим среднее значение тока i = I_mсosωt с амплитудой А = I_m будет

. (2.5)

Аналогично среднее значение гармонического напряжения

. (2.6)

Тепловое действие тока, а также механическая сила взаимодействия двух проводников, по которым проходит один и тот же ток, пропорциональны квадрату тока. Поэтому о величине тока судят обычно по так называемому действующему (среднеквадратичному) значению за период. Этим термином заменен применявшийся ранее в литературе и ныне не рекомендуемый термин «эффективное» значение.

Действующее значение периодической функции f(t) вычисляется по формуле

. (2.7)

Из этой формулы следует, что величина F² представляет собой среднее значение функции [f(t}]² за период Т, т.е. равна высоте прямоугольника с основанием Т, площадь которого равна площади, ограниченной функцией [f(t)]² и осью абсцисс за один период (рисунок 2.3).

В соответствии с (2.7) действующее значение периодического тока

. (2.8)

Возведя (2.8) в квадрат и умножив обе части полученного выражения на RT, найдем

.

Это равенство показывает, что действующее значение периодического тока равно по величине такому постоянному току, который, проходя через неизменное сопротивление R, за период времени Т выделяет то же количество тепла, что и данный ток i.

Аналогично действующее значение периодического напряжения

. (2.9)

При токе i = I_mcosωt

.

Следовательно, согласно (2.8)

. (2.8а)

Аналогично действующее значе­ние гармонического напряжения

. (2.9а)

Номинальные токи и напряжения электротехнических устройств опре­деляются, как правило, действующими значениями; поэтому действующие значения представляют наиболее распространенный электрический параметр.

Для измерения действующих значений применяются системы приборов: тепловая, электромагнитная, электродинамическая и др.

2.3 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В ВИДЕ ПРОЕКЦИЙ ВРАЩАЮЩИХСЯ ВЕКТОРОВ

Мгновенные значения функции u = U_mcos(ωt+) можно получить как проекцию на горизонтальную ось отрезка длиной U_m, вращающегося относительно начала прямоугольной системы координат с угловой скоростью ω = 2f в положительном направлении (т.е. против хода часовой стрелки). Вращающийся отрезок условимся называть вектором. Этот вектор, вращающийся в плоскости прямоугольной системы координат, не следует смешивать с вектором в трехмерном пространстве из области механики или теории электромагнитного поля.

В момент t = 0 вектор образует с горизонтальной осью угол ψ и его проекция на горизонтальную ось равна U_mcos, т.е. мгновенному значению заданной функции при t = 0 (рисунок 2.4, а).

За время t = t₁ вектор повернется на угол ωt₁ и окажется повернутым относительно горизонтальной оси на угол ωt₁+; его проекция на эту ось будет равна U_mcos(ωt₁ + ) и т.д.

Таким образом, рассмотрение гармонических колебаний можно заменить рассмотрением вращающихся векторов.

Для получения мгновенных значений в соответствии с вышесказанным условимся проектировать векторы на горизонтальную ось. Рассмотрим теперь функцию U_msin(ωt + ) = U_mcos(ωt + -).

Она представится проекцией вращающегося вектора, имеющего начальную фазу  - (рисунок 2.4, б).

Следовательно, векторы, изображающие косинусоидальную и синусоидальную функции, взаимно перпендикулярны.

Если гармонические колебания имеют одну и ту же частоту, то соответствующие этим колебаниям векторы вращаются с одинаковой угловой скоростью и поэтому углы между ними сохраняются неизменными.

На рисунке 2.5 показаны две гармонические функции

u₁ = U_1mcos(ωt + ₁)

и

u₂ = U_2mcos(ωt + ₂),

имеющие одинаковую угловую частоту ω и начальные фазы ₁ и -₂. Кривая u₁, смещенная влево относительно u₂, возрастает от нуля до своего положительного максимума раньше, чем кривая u₂. Поэтому говорят, что u₁ опережает по фазе u₂, или, что то же, u₂ отстает по фазе от u₁. Разность начальных фаз  = ₁ - (-₂) = ₁ + ₂ называется фазовым сдвигом или углом сдвига u₁ относительно u_2. Этот угол и образуют между собой векторы, показанные на рисунке 2.5 (вверху).

При равенстве начальных фаз, т.е. при фазовом сдвиге, равном нулю, векторы, направлены, в одну и ту же сторону (совпадают по фазе).

При фазовом сдвиге 180° векторы направлены в диаметрально противоположные стороны (находятся в противофазе).

Диаграмма, изображающая совокупность векторов, построенных с соблюдением их взаимной ориентации по фазе, называется векторной диаграммой.

Векторное представление гармонических функций, частота которых одинакова, облегчает операции сложения и вычитания этих функций. Ввиду того, что сумма проекций двух векторов равна проекции геометрической суммы этих векторов, амплитуда и начальная фаза результирующей кривой легко находятся из векторной диаграммы геометрическим сложением векторов.

Например, пусть требуется сложить функции

u₁ = U_1mcos(ωt + ₁) и u₂ = U_2mcos(ωt + ₂).

Из графического построения рисунок 2.6, а следует:

; (2.11)

. (2.12)

Здесь угол  находится с учетом знаков числителя и знаменателя, определяющих знаки синуса и косинуса.

В случае, когда функция u₂ вычитается из u₁ (рисунок 2.6, б), угол ₁ в (2.11) и (2.12) заменяется на _{2 +}  или, что то же, на ₂ ().

Амплитуда U_m и угол  могут быть также получены непосредственно из векторной диаграммы.

При пользовании векторной диаграммой с целью установления фазовых сдвигов или амплитудных значений гармонических величин, имеющих одинаковую частоту, векторная диаграмма может считаться неподвижной (при равенстве частот углы между векторами не зависят от времени).

Построение векторных диаграмм обычно не связано с определением мгновенных значений гармонических функций; в таких случаях векторные диаграммы строятся не для амплитуд, а для действующих значений, т.е. модули векторов уменьшаются по сравнению с амплитудами в раз. При этом векторная диаграмма мыслится неподвижной.

В отличие от векторных диаграмм кривые мгновенных значений называются временными диаграммами.