2.9. Параллельное соединение r, l, с

Если к зажимам электрической цепи, состоящей из параллельно соединенных элементов R, L, С (рисунок 2.18), приложено гармоническое напряжение u = U_mcosωt, то гармонический ток, проходящий через эту цепь, равен алгебраической сумме гармонических токов в параллельных ветвях (первый закон Кирхгофа): i = i_R + i_L + i_C.

Ток i_R в сопротивлении R совпадает по фазе с напряжением и, ток i_L в индуктивности L отстает, а ток i_C в емкости С опережает напряжение на /2 (рисунок 2.19).

Следовательно, суммарный ток i в цепи равен

i = I_mcos(ωt  ) = U_mcosωt + U_mcos(ωt  ) +

+ ωСU_mcos(ωt + ) = U_mcosωt + (  ωC)U_mcos(ωt  ). (2.20)

Уравнение (2.20) представляет собой тригонометрическую форму записи первого закона Кирхгофа для мгновенных значений токов. Входящая в него величина b = b_L  b_C =  C называется реактивной проводимостью цепи, которая в зависимости от знака может иметь индуктивный (b > 0) или емкостный (b < 0) характер. В отличие от реактивной проводимости b активная проводимость g = l/R всегда положительна.

Для нахождения I_m и  воспользуемся векторной диаграммой, соответствующей уравнению (2.20) (рисунок 2.20, а и б). Прямоугольный треугольник с катетами I_R и [I_L+I_C] и гипотенузой I называется треугольником токов. Треугольник токов построен на рисунке 2.20, а для b >0, а на рисунке 2.20, б − для b < 0.

Из треугольника токов следует, что или I = yU; I_m=yU_m

Здесь (2.21)

полная проводимость рассматриваемой параллельной цепи.

Активная, реактивная и полная проводимости относятся к числу основных понятий, применяемых в теории электрических цепей.

Угол фазового сдвига тока i относительно напряжения и равен:

 = arctg = arctg. (2.22)

Если задано напряжение и = U_mcos(ωt + ) на зажимах цепи с параллельно соединенными R, L и С, то ток определяется по формуле

i = yU_mcos(ωt +   ).

Угол , как и в предыдущем случае, отсчитывается на временной диаграмме ωt от напряжения к току, а на векторной диаграмме  от тока к напряжению; он является острым или прямым углом

|| .

Угол  положителен при индуктивном характере цепи, т.е. при b > 0; при этом ток отстает по .фазе от напряжения. Угол  отрицателен при емкостном характере цепи, т.е. при b < 0; при этом ток опережает по фазе напряжение. Ток совпадает с напряжением по фазе при b = b_R  b_C = 0, т.е. при равенстве индуктивной и емкостной проводимостей. Такой режим работы электрической цепи называется резонансом токов.

Из (2.21) и (2.22) следует, что активная и реактивная проводи­мости цепи связаны с полной проводимостью формулами:

g = ycos; b = уsin. (2.23)

Умножив правые и левые части выражений (2.23) на действующее значение напряжения U, получим действующие значения токов в ветвях с активной и реактивной проводимостями изображаемые катетами треугольника токов и называемые активной и реактивной составляющими тока:

Ia = gU = ycosU = Icos;		(2.24)
Ip = bU = ysinU = Isin.

Как видно из треугольников токов и уравнений (2.24), активная и реактивная составляющие тока связаны с действующим значением суммарного тока формулой

I = .

Разделив стороны треугольника токов на U, получим прямоугольный треугольник проводимостей, подобный треугольнику напряжений (рисунок 2.21, а, б).

Треугольник проводимостей служит геометрической интерпретацией уравнений (2.21) и (2.22); активная проводимость g откладывается по горизонтальной оси вправо, а реактивная проводимость b в зависимости от ее знака откладывается вниз (b > 0) или вверх (b < 0). Угол  в треугольнике проводимостей отсчитывается, от гипотенузы у к катету g, что соответствует отсчету  в треугольнике токов от I = yU к I_a = gU.

Для характеристики конденсаторов, представляемых цепью с емкостной и активной проводимостями, применяется понятие добротность конденсатора Q_C = b/g = ωC_R, которое равнозначно тангенсу угла || конденсатора. Обратная величина называется тангенсом угла диэлектрических потерь конденсатора tg = l/Q_C (угол диэлектрических потерь  дополняет угол || до 90°).

Чем больше сопротивление R, тем больше (при прочих равных условиях) добротность конденсатора и тем меньше угол потерь.

Добротность конденсаторов для разных частот и диэлектриков колеблется в широких пределах, примерно от 100 до 5000. Слюдяные конденсаторы обладают большей добротностью, чем керамические.

Добротность конденсаторов, применяемых в высокочастотной технике, примерно в 10 раз превышает добротность индуктивных катушек.