2.7 Гармонический ток в емкости

Пусть напряжение на емкости C синусоидально u = U_msin(t+).

На основании (1.8)

(2.14)

Изменение электрического заряда происходит по косинусоидальному закону в соответствии с приложенным напряжением и. При этом попеременное накапливание положительных и отрицательных электрических зарядов на пластинах емкости обусловливает прохождение в цепи гармонического тока i. Его величина определяется скоростью изменения заряда на емкости (dq/dt).

Выражение (2.14) показывает, что ток i опережает приложенное напряжение и на угол /2 (рисунок 2.11). Нулевым значениям тока соответствуют максимальные (положительные или отрицательные) значения напряжения и. Физически это объясняется тем, что, когда электрический заряд q и соответственно напряжение и = q/С достигают максимального значения (положительного или отрицательного), ток i равен нулю.

Под фазовым сдвигом тока относительно напряжения здесь, как и раньше, подразумевается разность начальных фаз напряжения и тока, т.е.

 = _u _i=-.

Таким образом, в отличие от цепи с индуктивностью, где  = /2, фазовый сдвиг тока относительно напряжения в случае емкости отрицателен ( = −/2).

На векторной диаграмме вектор тока опережает вектор напряжения на угол /2 (рисунок 2.11, в).

Амплитуды и соответственно действующие значения напряжения и тока связаны соотношением, по­добным закону Ома:

U_m=I_m; I_m = X_CI_m; U = X_CI.

Величина X_C = 1/ωС, имеющая размерность сопротивления, называется емкостным сопротивлением. Обратная ей величина b_C = ωC называется емкостной проводимостью. Следовательно, I_m=b_CU_m, I=b_CU.

Мгновенная мощность, поступающая в емкость,

р_C = ui = U_mI_msin(ωt+)sin(ωt++) = UIsin2(ωt+),

колеблется синусоидально с угловой частотой 2ω, имея амплитуду, равную UI.

Мгновенная мощность, поступающая в емкость, равна скорости изменения энергии электрического поля емкости.

Энергия электрического поля емкости согласно (1.8а)

изменяется периодически с угловой частотой 2 в пределах от 0 до (рисунок 2.12).

Поступая от источника, энергия временно запасается в электрическом поле емкости, а затем возвращается к источнику при исчезновении электрического поля. Энергия электрического поля достигает максимума при максимальном значении напряжения на емкости. Затем она убывает и обращается в нуль при напряжении, равном нулю.

Таким образом, так же как и в случае индуктивности, происходит колебание энергии между источником и емкостью, причем средняя мощность Р = 0.

Так как максимальное значение энергии, запасаемой в электрическом поле, равно W_Cmax= CU², то емкостное сопротивление X_C = может быть определено как X_C = .

2.8. Последовательное соединение r, l, с

При прохождении гармонического тока i = I_mcosωt через электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных элементов R, L, С (рисунок 2.13), на зажимах этой цепи создается гармоническое напряжение, равное алгебраической сумме гармонических напряжений на отдельных элементах (второй закон Кирхгофа):

и = u_R + и_L + u_C.

Напряжение u_R на сопротивлении R совпадает по фазе с током i, напряжение u_L на индуктивности L опережает, а напряжение и_C на емкости С отстает от i на /2 (рисунок 2.14).

Следовательно, напряжение и на зажимах всей цепи равно:

u = U_mcos(ωt + ) = RI_mcosωt + LI_mcos(ωt + ) +

+ I_mcos(ωt) = RI_mcosωt+(L)I_mcos(ωt+) (2.15)

Уравнение (2.15) представляет тригонометрическую форму записи второго закона Кирхгофа для мгновенных значений напряжений. Входящая в него величина Х =Х_L  Х_C = ωL  называется реактивным сопротивлением цепи, которое в зависимости от знака может иметь индуктивный (Х > 0) или емкостный (Х < 0) характер. В отличие от реактивного сопротивления Х активное сопротивление R всегда положительно.

Для нахождения U и φ воспользуемся векторной диаграммой, соответствующей уравнению (2.15). На рисунке 2.15, а показан случай, когда Х > 0, и на рисунке 2.15, б случай; когда Х < 0.

Падение напряжения от тока в активном и реактивном сопротивлениях изображается катетами прямоугольного треугольника напряжения 0аb, гипотенуза которого изображает напряжение на зажимах цепи. Отсюда

U =

или .

Полученное выражение показывает, что действующие значения (так же, как и амплитуды) напряжения на зажимах цепи и тока, проходящего через данную цепь, связаны соотношением, аналогичным закону Ома:

U = zI; U_m = zI_m^,

где величина z = (2.16)

называется полным сопротивлением рассматриваемой цепи.

Активное, реактивное и полное сопротивления относятся к числу основных понятий, применяемых в теории электрических цепей. Из векторных диаграмм следует, что угол фазового сдвига тока i относительно напряжения и равен:

(2.17)

Если задано напряжение u = U_mcos(ωt+) на зажимах цепи с последовательно соединенными R, L и С, то ток определяется по формуле i = cos(ωt+) Угол φ, равный разности начальных фаз напряжения и тока, отсчитывается по оси ωt в направлении от напряжения к току и является углом острым., прямым или равным нулю ||.

Угол  положителен при индуктивном характере цепи, т.е. при Х > 0; при этом ток отстает по фазе от напряжения, и φ отсчитывается в положительном направлении: на временной диаграмме вправо от напряжения к току (рисунок 2.16, а), а на векторной диаграмме против хода часовой стрелки от тока к напряжению U (рисунок 2.15, а).

Угол  отрицателен при емкостном характере цепи, т.е. при X < 0, при этом ток опережает по фазе напряжение, и φ отсчитывается в отрицательном направлении: на временной диаграмме влево от напряжения к току (рисунок 2.16, б), а на векторной диаграмме  по ходу часовой стрелки от тока I к напряжению U (рисунок 2.15, б).

Итак, следует всегда помнить, что угол  положителен при отстающем и отрицателен при опережающем токе. На временной диаграмме угол отсчитывается от напряжения к току, а на векторной диаграмме  от тока к напряжению.

Ток совпадает с напряжением по фазе при X = X_L  x_C = 0, т.е. при равенстве индуктивного и емкостного сопротивлений. Такой режим работы электрической цепи называется резонансом напряжений (гл. 7).

Из выражений (2.16) и (2.17) следует, что активное и реактивное сопротивления цепи связаны с полным сопротивлением формулами:

R = zcos; x = zsin. (2.18)

Умножив правые и левые части выражений (2.18) на действующее значение тока I, получим действующие значения напряжений на активном и реактивном сопротивлениях, изображаемые катетами треугольника напряжений и называемые активной и реактивной составляющими напряжения:

U_a = RI = zcos_I = Ucos,

U_p = XI = zsin_I = Usin. (2.19)

Мгновенные значения напряжений на активном и реактивном сопротивлениях, суммирующиеся алгебраически в соответствии с (2.15), имеют фазовый сдвиг /2. Поэтому непосредственное сложение действующих значений этих функций не дает действующего значения напряжения на всей цепи; как видно из треугольника напряжений и уравнений (2.19), активная и реактивная составляющие напряжения связаны с действующим значением суммарного напряжения формулой

U = .

Если все стороны треугольника напряжений разделить на I, то получится прямоугольный треугольник сопротивлений, подобный треугольнику напряжений (рисунок 2.17, а, б).

Треугольник сопротивлений представляет геометрическую интерпретацию уравнений (2.16) и (2.17). Его положение не зависит от начальных фаз напряжения и и тока i: сопротивление R откладывается по горизонтальной оси вправо (в положительном направлении), а реактивное сопротивление X в зависимости от его знака откладывается вверх (X > 0) или вниз (X < 0). Угол  в треугольнике сопротивлений отсчитывается от катета R к гипотенузе z, что соответствует отсчету в треугольнике напряжений от U_а = RI к U = zI.

Для характеристики индуктивных катушек, представляемых цепью с последовательным соединением активного и индуктивного сопротивлений, пользуются понятием добротности катушки Q_L = X_L/R, которое равнозначно тангенсу угла сдвига фаз  для катушки. Чем меньше сопротивление R, тем выше при прочих равных условиях добротность катушки.

Добротность индуктивных катушек, применяемых в диапазоне частот от 1 кГц до 100 МГц, обычно составляет Q_L = 50…500.