- •Численные методы
- •Часть 3
- •Содержание
- •Введение
- •Классификация методов взвешенных невязок
- •Частные случаи метода взвешенных невязок
- •Метод моментов
- •Метод коллокаций
- •Метод подобластей
- •Метод наименьших квадратов
- •Метод конечных разностей
- •Расширение понятия функции
- •Пространство основных функций
- •Обобщенные функции
- •Дифференцирование обобщенных функций
- •Сходимость метода взвешенных невязок Основные понятия и определения
- •Обобщенное решение дифференциального уравнения
- •Сходимость метода конечных элементов
- •Контрольные вопросы и задания
- •Аппроксимация функций
- •Функции одной переменной
- •Кусочно-постоянные функции
- •Кусочно-линейные функции
- •Функции высших степеней
- •Иерархические многочлены
- •Функции двух переменных Треугольные конечные элементы. Линейная аппроксимация
- •Квадратичная аппроксимация
- •Четырехугольные конечные элементы
- •Функции трех переменных
- •Контрольные вопросы и задания
- •Задачи теплопроводности
- •Уравнение стационарной теплопроводности
- •Аппроксимация решения кусочно-линейными функциями
- •Процедура ансамблирования конечных элементов
- •Аппроксимация решения кусочно-квадратичными функциями
- •Использование иерархических многочленов
- •Уравнение нестационарной теплопроводности
- •Контрольные вопросы и задания
- •ЗадачИ механики деформируемого твердого тела Постановка задачи
- •Разрешающие соотношения метода взвешенных невязок Уравнение равновесия
- •Физические уравнения
- •Геометрические уравнения
- •Ансамблирование конечных элементов
- •Плоско-деформированное состояние
- •4 Узел 3 узел 3 узел
- •1 Элемент
- •2 Элемент
- •Плоско-напряженное состояние
- •Осесимметричное напряженно-деформированное состояние
- •Решение задач упругопластичности
- •Метод переменных параметров упругости
- •Метод дополнительных нагрузок
- •Контрольные вопросы и задания
- •ЗадачИ механики жидкости
- •Уравнения движения в переменных «функция тока – вихрь скорости»
- •Граничные условия
- •Граничные условия для функции тока
- •Граничные условия для функции завихренности
- •Соотношения метода взвешенных невязок
- •Разрешающие соотношения для функции тока
- •Разрешающие соотношения для функции завихренности
- •Разрешающие соотношения для поля давления
- •Алгоритм решения задачи
- •Контрольные вопросы и задания
- •Метод граничных элементов
- •Фундаментальное решение
- •Построение фундаментального решения
- •Контрольные вопросы и задания
- •Предметный указатель
- •Библиографический список
- •Приложение Бояршинов Михаил Геннадьевич Численные методы
- •Часть 3
Иерархические многочлены
Введенные выше пробные функции обладают существенным недостатком. При необходимости аппроксимации заданной функции с использованием пробных функций более высокого порядка приходится полностью перестраивать систему линейных алгебраических уравнений, получаемую из соотношений ( 2 .1). Это видно из сравнения систем уравнений, получаемых при аппроксимации функции x2 кусочно-постоянными ( 2 .2) и кусочно-линейными (2.4) пробными функциями. Целесообразно так сконструировать систему пробных функций, чтобы при повышении порядка аппроксимации (за счет добавления функций более высокой степени) новая система алгебраических уравнений вида ( 2 .1) формировалась на основе уже имеющейся системы лишь за счет добавления к ней новых столбцов и строк. Построение такой иерархической системы многочленов для произвольного отрезка [xi, xj] начинается с уже известных линейных функций,
, .
Следующая пробная функция строится на основе полинома второй степени,
.
Потребуем, чтобы в своем узле = 0 (xc) эта функция была равна 1, а в соседних узлах = -1 (xi) и = 1 (xj) – нулю, то есть
Решение этой системы уравнений определяет функцию
.
Коэффициенты разложения, стоящие при первых трех функциях, будут сохранять свой геометрический смысл, аппроксимируя значения исходной функции в точках xi, xj и xc, соответственно. Для четвертой функции используется кубический полином,
,
коэффициенты которого определяются решением системы уравнений
Отсюда следует, что четвертая функция имеет вид
.
Аналогично строится пробная функция
,
и так далее. Вид пробных функций этой системы показан на рис. 2 .8, а. На рис. 2 .8, б показан вид пробных функций еще одной иерархической системы,
; ; для всех k > 2
Дифференцируя функции этой системы, получаем для четных номеров
,
для нечетных
.
Далее, как для четных, так и для нечетных номеров, .
Рис. 2.8. Примеры иерархических систем пробных функций на отрезке [xi, xj]
Это означает, что
то есть все производные, кроме одной, обращаются в нуль при = 0. Далее, для разложения ( 2 .0) получаем
.
Следовательно, при q > 2 коэффициент aq аппроксимирует значение производной q-го порядка от исходной функции в точке = 0.
В прикладных задачах математической физики при использовании методов взвешенных невязок часто встречаются интегралы вида
.
В этом случае удобно пользоваться полиномами Лежандра1
, , , ,
, , …,
для которых
.
Использование этих полиномов позволяет упростить формирование и решение системы алгебраических уравнений. Вид полиномов Лежандра приведен на рис. 2 .9.
Рис. 2.9. Система полиномов Лежандра на отрезке [xi, xj]
Функции двух переменных Треугольные конечные элементы. Линейная аппроксимация
Пусть вершины простейшего треугольного конечного элемента с вершинами i, j и k на плоскости имеют координаты {xi, yi}, {xj, yj}, {xk, yk} (рис. 2 .10). Для такого конечного элемента можно построить три пробные функции i(x, y), j(x, y) и k(x, y). Рассмотрим процедуру построения кусочно-линейной пробной функции, определенной на этом элементе, в виде
.
Удобно для практических приложений сконструировать эту функцию таким образом, чтобы в своем узле эта функция была равна 1, а в двух других обращалась в 0. Это будет означать, что коэффициенты разложения какой-либо функции f(x, y) по этой системе функций i(x, y), j(x, y) и k(x, y), будут аппроксимировать значение f(x, y) в соответствующих узлах, как это было в предыдущем случае. Система уравнений относительно коэффициентов i, i и i имеет вид
y
Рис. 2.10. Кусочно-линейная пробная
функция i
на двумерном конечном элементе
i
j
x
Главный и вспомогательные определители этой системы уравнений равны
,
, , .
Главный определитель этой системы численно равен удвоенной площади рассматриваемого треугольного конечного элемента. Следует отметить, что лишь в том случае, когда нумерация вершин треугольника производится в направлении, противоположном движению часовой стрелки. Искомые коэффициенты равны
.
Таким же способом строятся еще две пробные функции, j и k, обладающие аналогичными свойствами,
;
,
.