- •Численные методы
- •Часть 3
- •Содержание
- •Введение
- •Классификация методов взвешенных невязок
- •Частные случаи метода взвешенных невязок
- •Метод моментов
- •Метод коллокаций
- •Метод подобластей
- •Метод наименьших квадратов
- •Метод конечных разностей
- •Расширение понятия функции
- •Пространство основных функций
- •Обобщенные функции
- •Дифференцирование обобщенных функций
- •Сходимость метода взвешенных невязок Основные понятия и определения
- •Обобщенное решение дифференциального уравнения
- •Сходимость метода конечных элементов
- •Контрольные вопросы и задания
- •Аппроксимация функций
- •Функции одной переменной
- •Кусочно-постоянные функции
- •Кусочно-линейные функции
- •Функции высших степеней
- •Иерархические многочлены
- •Функции двух переменных Треугольные конечные элементы. Линейная аппроксимация
- •Квадратичная аппроксимация
- •Четырехугольные конечные элементы
- •Функции трех переменных
- •Контрольные вопросы и задания
- •Задачи теплопроводности
- •Уравнение стационарной теплопроводности
- •Аппроксимация решения кусочно-линейными функциями
- •Процедура ансамблирования конечных элементов
- •Аппроксимация решения кусочно-квадратичными функциями
- •Использование иерархических многочленов
- •Уравнение нестационарной теплопроводности
- •Контрольные вопросы и задания
- •ЗадачИ механики деформируемого твердого тела Постановка задачи
- •Разрешающие соотношения метода взвешенных невязок Уравнение равновесия
- •Физические уравнения
- •Геометрические уравнения
- •Ансамблирование конечных элементов
- •Плоско-деформированное состояние
- •4 Узел 3 узел 3 узел
- •1 Элемент
- •2 Элемент
- •Плоско-напряженное состояние
- •Осесимметричное напряженно-деформированное состояние
- •Решение задач упругопластичности
- •Метод переменных параметров упругости
- •Метод дополнительных нагрузок
- •Контрольные вопросы и задания
- •ЗадачИ механики жидкости
- •Уравнения движения в переменных «функция тока – вихрь скорости»
- •Граничные условия
- •Граничные условия для функции тока
- •Граничные условия для функции завихренности
- •Соотношения метода взвешенных невязок
- •Разрешающие соотношения для функции тока
- •Разрешающие соотношения для функции завихренности
- •Разрешающие соотношения для поля давления
- •Алгоритм решения задачи
- •Контрольные вопросы и задания
- •Метод граничных элементов
- •Фундаментальное решение
- •Построение фундаментального решения
- •Контрольные вопросы и задания
- •Предметный указатель
- •Библиографический список
- •Приложение Бояршинов Михаил Геннадьевич Численные методы
- •Часть 3
-
Метод граничных элементов
Вернемся к уравнению Пуассона ( 1 .0) с граничными условиями ( 1 .1) и ( 1 .2). Его решение um, как и ранее, разыскивается в виде ( 1 .3). Обратная формулировка этой задачи ( 1 .9)
получена взвешиванием невязок уравнения ( 1 .0) и граничных условий ( 1 .1), ( 1 .2) по всей области и границам Q и U, соответственно. Если все взвешивающие функции k удовлетворяют уравнению Лапласа
, (6.0)
из предыдущего выражения следует соотношение ( 1 .10) для значений искомой функции um и ее производной на границах Q и U,
.
Пример 6.1 (из книги [2]). Рассматривается дифференциальное уравнение
с граничными условиями .
С помощью функции w взвешиваются невязки дифференциального уравнения, получаемые на приближенном решении , удовлетворяющем заданным граничным условиям:
.
Первое слагаемое под знаком интеграла преобразуется по частям,
.
Здесь учтено, что в силу заданных граничных условий
, .
Подстановка полученного соотношения в интегральное уравнение приводит к выражению
.
Пусть пробная взвешивающая функция w удовлетворяет уравнению
,
тогда интегральное выражение преобразуется к более простому виду
.
Это соотношение является линейным алгебраическим уравнением относительно значений и (на левом конце задано значение функции u, на правом конце – значение производной ).
Решением дифференциального уравнения является функция
,
где А и В – константы интегрирования. Подстановка этой функции приводит к выражению
.
В силу независимости коэффициентов А и В приходим к системе двух алгебраических уравнений относительно искомых значений и ,
Поскольку
, ,
решением задачи являются значения
.
В результате получены значения искомой функции и ее производной на концах рассматриваемого отрезка без непосредственного решения исходного дифференциального уравнения.
Фундаментальное решение
Обратимся к уравнению ( 6 .0). Потребуем, чтобы взвешивающие функции удовлетворяли уравнению1
, (6.1)
где (x – xk) – дельта-функция Дирака, – точка, где -функция обращается в бесконечность. Выражение (1.10) преобразуется к виду
. (6.2)
Это соотношение позволяет определить значение um искомой функции в точке xk внутри области , поскольку все величины, входящие в подынтегральные выражения, стоящие в правой части, либо заданы граничными условиями, либо уже найдены из решения уравнения ( 1 .10).
Пример 6.2. Для рассмотренной выше задачи из примера 6.1 необходимо построить фундаментальное решение и определить значение искомой функции для точки xk, лежащей внутри рассматриваемого отрезка [0, 1]. Фундаментальным решением для этой задачи является функция, удовлетворяющая уравнению
.
Убедимся, что функция
.
является искомым фундаментальным решением.
Пусть x > xk. В этом случае r = x – xk. Дифференцирование дает
.
Подставка этих значений в уравнение приводит к выражению
.
Пусть x < xk. В этом случае r = xk – x. Аналогично предыдущему случаю определяются производные,
.
Подстановка этих значений в проверяемое уравнение дает
.
Пусть x = xk. Теперь r = 0, и, следовательно, дифференциальное уравнение терпит разрыв в рассматриваемой точке. Для проверки выполнения условий, накладываемых на –функцию, выполняется интегрирование дифференциального уравнения,
.
Таким образом показано, что функция действительно является фундаментальным решением. Выражение
,
полученное в примере 6.1, с учетом уравнения принимает форму
,
позволяющую определить значение функции в точке xk. Подстановка фундаментального решения в это уравнение приводит к решению
.
Точное решение рассмотренной задачи имеет вид
.
Пример 6.3. Рассмотрим уравнение ( 6 .1), записанное для трехмерной бесконечной области с изотропными свойствами. Поле k, порождаемое точечным источником, имеющим координаты (xi, yi, zi), в этом случае зависит лишь от расстояния между источником и произвольной точкой (x, y, z). Решением является функция
.
Для сферической системы координат оператор Лапласа имеет вид
.
Поскольку решение задачи не зависит от направления, определяемого углами , уравнение ( 6 .1) принимает вид (источник находится в начале системы координат, r = 0)
.
Дифференцирование решения дает выражения
,
при подстановке которых дифференциальное уравнение для удовлетворяется тождественно, поскольку . Для исследования случая r = 0 рассматривается шар радиуса с центром в начале координат (здесь находится точечный источник). Интегрирование уравнения ( 6 .1) по этому шару с использованием теоремы Гаусса [9] приводит к выражению,
.
Подстановка сюда требуемой производной дает
.
При интегрировании учтено, что на поверхности сферы r = = const. Но это как раз и означает выполнение уравнения ( 6 .1) независимо от величины радиуса сферы, поскольку . В табл. 1 Приложения представлен ряд фундаментальных решений из монографии [2] для некоторых дифференциальных уравнений.
При получении уравнения ( 6 .2) предполагалось, что точечный источник располагается внутри области . Рассмотрим случай, когда особая точка попадает на границу области, например, . Рассматривается часть области ГQ с точкой xk (рис. 6 .0), причем эта особая точка окружена внешней полусферой с радиусом, равным .
Рис. 6.0. Попадание точечного источника
на границу ГQ области
Рассматривается выражение
, (6.3)
где Q – – поверхность Q без круга, вырезанного полусферой . Производная в подынтегральном выражении равна
и на поверхности сферы постоянна, причем r = . Второе слагаемое в левой части выражения ( 6 .3) равно
,
где – среднее по поверхности полусферы значение um.
Отсюда следует
.
Первое слагаемое соотношения ( 6 .3) преобразуется к виду
.
Здесь соответствует границе ГQ с выколотой точкой xk. Для другого интеграла, входящего в соотношение ( 6 .2), выполняются аналогичные преобразования:
,
,
,
где – среднее по поверхности полусферы значение Q. В итоге, после преобразований получается выражение
,
. (6.4)
В случае попадания особой точки на границу ГU результат преобразований получается аналогичным. Выражение ( 6 .4) позволяет определять искомое решение на всей границе Г области не прибегая к построению решений уравнения ( 6 .0), используя лишь фундаментальное решение, что значительно сокращает необходимые вычислительные ресурсы.
Для удобства последующих преобразований вводятся обозначения:
Пусть граница Г области аппроксимируется набором граничных элементов в виде отрезков прямых Гj. Пусть NU элементов принадлежат границе ГU и NQ элементов – границе ГQ, то есть всего N = NU + NQ элементов. В этом случае на границе ГU неизвестны NU величин , на границе ГQ подлежат определению NQ значений um. Всего N = NU + NQ неизвестных.
В пределах каждого элемента Гj значения и считаются постоянными и приведенными к центру этого элемента. Поскольку вся граница представляется объединением
,
выражение ( 6 .4) можно преобразовать к виду
,
где – величины, подлежащие определению, k – функция, являющаяся фундаментальным решением уравнения ( 6 .1) при точечном источнике, расположенном в центре k-го граничного элемента.
Пусть
Теперь выражение ( 6 .4) можно представить в виде системы линейных алгебраических уравнений
, (6.5)
каждое из которых получается при помещении точечного источника последовательно в центры всех граничных элементов. В системе уравнений ( 6 .5) содержатся 2N величин . Однако из них известны NU величин на границе ГU и NQ значений на границе ГQ. Следовательно, система N уравнений ( 6 .5) содержит ровно N величин, подлежащих определению.
После решения этой системы уравнений и определения решения на границе Г области выражение ( 6 .2) позволяет отыскать искомое решение в любой точке xk, лежащей внутри исследуемой области. В этом случае функция k является фундаментальным решением уравнения Пуассона с точечным источником, расположенным в точке xk.