- •Численные методы
- •Часть 3
- •Содержание
- •Введение
- •Классификация методов взвешенных невязок
- •Частные случаи метода взвешенных невязок
- •Метод моментов
- •Метод коллокаций
- •Метод подобластей
- •Метод наименьших квадратов
- •Метод конечных разностей
- •Расширение понятия функции
- •Пространство основных функций
- •Обобщенные функции
- •Дифференцирование обобщенных функций
- •Сходимость метода взвешенных невязок Основные понятия и определения
- •Обобщенное решение дифференциального уравнения
- •Сходимость метода конечных элементов
- •Контрольные вопросы и задания
- •Аппроксимация функций
- •Функции одной переменной
- •Кусочно-постоянные функции
- •Кусочно-линейные функции
- •Функции высших степеней
- •Иерархические многочлены
- •Функции двух переменных Треугольные конечные элементы. Линейная аппроксимация
- •Квадратичная аппроксимация
- •Четырехугольные конечные элементы
- •Функции трех переменных
- •Контрольные вопросы и задания
- •Задачи теплопроводности
- •Уравнение стационарной теплопроводности
- •Аппроксимация решения кусочно-линейными функциями
- •Процедура ансамблирования конечных элементов
- •Аппроксимация решения кусочно-квадратичными функциями
- •Использование иерархических многочленов
- •Уравнение нестационарной теплопроводности
- •Контрольные вопросы и задания
- •ЗадачИ механики деформируемого твердого тела Постановка задачи
- •Разрешающие соотношения метода взвешенных невязок Уравнение равновесия
- •Физические уравнения
- •Геометрические уравнения
- •Ансамблирование конечных элементов
- •Плоско-деформированное состояние
- •4 Узел 3 узел 3 узел
- •1 Элемент
- •2 Элемент
- •Плоско-напряженное состояние
- •Осесимметричное напряженно-деформированное состояние
- •Решение задач упругопластичности
- •Метод переменных параметров упругости
- •Метод дополнительных нагрузок
- •Контрольные вопросы и задания
- •ЗадачИ механики жидкости
- •Уравнения движения в переменных «функция тока – вихрь скорости»
- •Граничные условия
- •Граничные условия для функции тока
- •Граничные условия для функции завихренности
- •Соотношения метода взвешенных невязок
- •Разрешающие соотношения для функции тока
- •Разрешающие соотношения для функции завихренности
- •Разрешающие соотношения для поля давления
- •Алгоритм решения задачи
- •Контрольные вопросы и задания
- •Метод граничных элементов
- •Фундаментальное решение
- •Построение фундаментального решения
- •Контрольные вопросы и задания
- •Предметный указатель
- •Библиографический список
- •Приложение Бояршинов Михаил Геннадьевич Численные методы
- •Часть 3
Квадратичная аппроксимация
Для треугольного конечного элемента с шестью узловыми точками (рис. 2 .11) квадратичные пробные функции конструируются в виде
,
коэффициенты i, i, i, i, i и i определяются, как и в предыдущем случае, из условий
y
Рис. 2.11. Двумерный конечный элемент
для квадратичной аппроксимации
n
i m
l j
x
Определители этой системы линейных алгебраических уравнений
,
,
,
,
, ,
позволяют вычислить искомые коэффициенты
,
,
,
,
,
.
На рис. 2 .12 показаны квадратичные пробные функции, определенные для треугольного конечного элемента.
i l k
Рис. 2.12. Некоторые квадратичные пробные функции
на треугольном конечном элементе
Аналогично вычисляются коэффициенты для остальных пробных функций.
,
,
,
,
,
;
,
,
,
,
,
;
,
,
,
,
,
;
,
,
,
,
,
;
,
,
,
,
,
;
Четырехугольные конечные элементы
Для четырехугольных конечных элементов билинейные пробные функции конструируются в виде
,
причем коэффициенты i, i, i и i определяются из условий
В частном случае (рис. 2 .13), когда конечный элемент является прямоугольником со сторонами, параллельными координатным осям, пробные функции определяются выражениями
, ,
, .
n y
k
Рис. 2.13. Пробная функция n
на четырехугольном конечном элементе
j
x i
Функции трех переменных
Для решения пространственных задач приходится строить пробные функции трех координатных переменных x, y и z. В простейшем случае конечный элемент представляет собой тетраэдр с четырьмя уздами i, j, k и n (рис. 2 .14), пробная функция, например i, имеет вид
.
xk, yk, zk
z
Рис. 2.14. Тетраэдральный конечный
элемент для аппроксимации пространственных
тел
y
xj, yj, zj
xi, yi, zi
x
Коэффициенты i, i, i и i, как и в предыдущих случаях, определяются из системы уравнений
Главный и вспомогательные определители этой системы уравнений равны
, , ,
, .
Искомые коэффициенты определяются выражениями
.
Следует отметить, что с помощью конечных элементов в виде тетраэдров могут быть представлены области в виде параллелепипедов (рис. 2 .15).
а б
Рис. 2.15. Представление параллелепипеда (а) с помощью набора тетраэдров (б)
xs, ys, zs xr, yr, zr
z xp, yp, zp xq,yq,zq
Рис. 2.16. Конечный элемент в виде
параллелепипеда со сторонами,
параллельными координатным осям
hz
xn, yn, zn xk, yk, zk
y hx hy
xi, yi, zi xj, yj, zj
x
В случае (рис. 2 .16), когда конечный элемент является параллелепипедом со сторонами, параллельными координатным осям (hx, hy и hz – размеры сторон параллелепипеда), пробные функции определяются выражениями
,
,
,
,
,
,
,
.