Решение задач упругопластичности

Рассматривается частный случай связи напряжений и деформаций в теории малых упругопластических деформаций¹ Г. Генки, определяющей пропорциональность девиаторов тензоров напряжений и деформаций:

, (4.22)

,

,

где . С помощью соотношения ( 4 .22) устанавливается связь интенсивности деформации _i (второго инварианта тензора деформации) с интенсивностью напряжения _i (вторым инвариантом тензора напряжений),

.

Принимая гипотезу единой кривой и учитывая условие пластического течения, , параметр  в соотношении ( 4 .22) может быть определен в виде

. (4.23)

Метод переменных параметров упругости

С помощью соотношения ( 4 .22) устанавливается связь компонент тензоров напряжений и деформаций,

.

С учетом зависимости между  и ,

, (4.24)

физические уравнения теории малых упругопластических деформаций принимают форму

.

Полученное выражение может быть представлено в форме, аналогичной записи закона Гука для упругого деформирования ( 4 .14)

.

Из сопоставления двух последних выражений следует система уравнений относительно параметров ,

Решение этой систему уравнений дает

,

.

Теперь соотношения теории малых упругопластических деформаций записаны в форме, аналогичной соотношениям теории упругости, что позволяет записать разрешающие соотношения метода взвешенных невязок в форме

, (4.25)

эквивалентной выражению ( 4 .18), полученному для случая упругого деформирования материала.

Рис. 4.6. Схема итераций метода переменных параметров упругости

Процесс решения строится в следующей последовательности.

1. Во всей рассматриваемой области  напряженно-деформированное состояние предполагается упругим, то есть

,

вследствие чего . Решением системы алгебраических уравнений ( 4 .25) с граничными условиями, соответствующими поставленной задаче, определяются перемещения .

2. С использованием решения подсчитывается интенсивность деформаций _i. Это, в свою очередь, позволяет с помощью диаграммы определить для каждого конечного элемента величину параметра  согласно выражению ( 4 .23) и подсчитать значения переменных параметров упругости , то есть сформировать матрицу [D^*] для каждого конечного элемента.

3. Формируется система уравнений ( 4 .25) с вычисленными значениями матрицы [D^*], и вновь определяются векторы , подсчитываются параметры  и вычисляются , и так далее. Итерационная процедура выполняется до тех пор, пока для двух соседних итераций s и s+1 выполняется условие

(4.26)

где  > 0 – заданная погрешность вычислений. Геометрическая интерпретация итераций метода переменных параметров упругости показана на рис. 4 .6.

Метод дополнительных нагрузок

Вновь, с использованием соотношения ( 4 .22), связь девиаторов тензоров напряжений и деформаций представляется в виде

.

Это выражение, с учетом зависимости ( 4 .24), позволяет записать соотношение между компонентами тензоров напряжений и деформаций,

.

Вводя, в соответствии с законом Гука ( 4 .14), упругие напряжения

и дополнительные напряжения

,

полные напряжения можно представить в виде

.

Подстановка этого соотношения в уравнения ( 4 .0) и ( 4 .3) приводит к соотношениям

,

.

Вводя обозначения

,

два полученных уравнения можно представить в виде

,

.

Теперь задачу упругопластичности можно рассматривать как задачу упругости с дополнительными массовыми силами и поверхностными нагрузками . Разрешающие соотношения ( 4 .18) метода взвешенных невязок теперь представляются в форме

(4.27)

Итерационное решение задачи упругопластичности строится следующим образом.

1. Во всей рассматриваемой области принимается , в результате чего , . Это означает, что первоначально во всей области  предполагается чисто упругое деформирование. Решением системы алгебраических уравнений ( 4 .27) без слагаемых определяются перемещения . Затем, согласно формулам ( 4 .17) и ( 4 .15), определяются деформации {_m} и напряжения {_m} во всех конечных элементах, аппроксимирующих исследуемую область .

2. По известным компонентам тензора деформаций подсчитывается интенсивность деформаций _i. Это, в свою очередь, позволяет по диаграмме определить величину параметра  согласно выражению ( 4 .23), вычислить дополнительные напряжения и массовые силы для каждого конечного элемента, дополнительные поверхностные нагрузки на границе Г_F области.

3. Формируется система уравнений ( 4 .27) с дополнительными слагаемыми . Вновь определяется решение задачи – векторы , подсчитываются параметры  и вычисляются , и так далее. Итерационная процедура выполняется до тех пор, пока, как и в предыдущем методе переменных параметров упругости, для двух соседних итераций выполняется условие ( 4 .26).

Геометрическая интерпретация метода дополнительных нагрузок приведена на рис. 4 .7.

Рис. 4.7. Схема метода дополнительных нагрузок