Метод конечных разностей

В соответствии с идеей метода конечных разностей строится локальная аппроксимация решения (для трех соседних узлов разностной сетки с номерами i, j и k, соответственно) в виде:

,

где – квадратичные функции, принимающие значения 1 в своем (одноименном) узле и 0 в соседних узлах. Невязка дифференциального уравнения ( 1 .11) на таком приближении решения для всего отрезка [x_i, x_j] длиной h имеет вид:

.

В качестве взвешивающей возьмем –функцию Дирака, . Тогда выражение ( 1 .16) метода взвешенных невязок приводится к виду

,

,

где – расстояние между двумя соседними узлами, то есть шаг сетки. Последнее выражение является конечно-разностной аппроксимацией уравнения ( 1 .11), применяемой в сеточных методах.

-функция Дирака

В различных вопросах математического анализа термин функция приходится понимать с различной степенью общности. Иногда рассматриваются непрерывные функции, в других случаях приходится иметь дело с многократно дифференцируемыми функциями. В ряде случае классическое определение функции как правила, ставящего каждому значению x из области определения этой функции соответствующего значения f(x), оказывается недостаточным.

Например, распределение масс вдоль прямой удобно задавать плотностью этого распределения. Однако, если на прямой имеются отдельные точки, несущие сосредоточенную положительную массу, то плотность такого распределения не может быть описана никакой обычной функцией. Применение классического аппарата математического анализа для решения целого ряда задач приводит к невозможности выполнения некоторых операций, когда функцию, не имеющую производную, невозможно продифференцировать, если эту производную понимать в обычном смысле. Оказывается, что подобные затруднения можно преодолеть введением понятия обобщенной функции. В физике интуитивное понятие обобщенной -функции введено и используется достаточно давно, значительно раньше, чем была построена строгая математическая теория обобщенных функций.

Расширение понятия функции

Пусть f – фиксированная функция одной переменной, интегрируемая на каждом конечном интервале;  – непрерывная функция, обращающаяся в нуль вне некоторого конечного интервала¹. Каждой такой функции  с помощью фиксированной функции f можно сопоставить число

. (1.17)

Иначе говоря, f можно рассматривать как линейный функционал на некотором пространстве финитных функций. Однако функционалами вида ( 1 .17) не исчерпываются все функционалы, которые можно ввести на таком пространстве. Сопоставляя каждой функции  ее значение в точке x = 0, можно получить функционал, не представимый в виде ( 1 .17). Таким образом, функции f естественным образом включаются в некоторое более широкое множество – совокупность всех линейных функционалов на финитных функциях.

Пространство основных функций

Пусть K – совокупность всех финитных функций , имеющих непрерывные производные всех порядков. Вводится понятие сходимости: последовательность элементов из K называется сходящейся к   K, если существует интервал, вне которого все , и последовательность производных порядка k (k = 0, 1, 2, …) сходится¹ на этом интервале равномерно к . Линейное пространство с такой сходимостью называется основным, а его элементы – основными функциями.