Примеры решения задач

Задача13. Для брусьев, загруженных так, как показано на рис. 28, определить вид сложного нагружения, указать положения опасных сечений и опасных точек в этих сьчениях.

Решение. Рассмотрим различные случаи нагружения.

I. Консольная балка (рис. 28,a) испытывает деформацию косого изгиба. Как видно из рисунка, косой изгиб можно представить как два плоских изгиба. Опасное сечение - сечение в заделке.

где

М_Z=P_Yl; М_Y=P_Zl;

Для определения опасных точек опасного сечения необходимо найти положение нейтральной оси. Положение ее опреде­ляется по формуле

Pис. 28

Наибольшие напряжения возикает в точках А и С сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси.

В случаях, когда профиль сечения бруса симметричный (прямоугольник, двутавр), возможно определение опасных точек и без построения нейтральной оси. Под действием силы Р_Z балка изгибается относительно оси у, следовательно, и сечение поворачивается относительно оси У. При этом возникают доформации в точках С, В - растяжение, в точках А, В - сжатие.

Опасные точки- точка А (сжатие), точка С (растяжеие). В опасной точке напряженное состояие - линейное.

2. Балка, испытывает деформацию сжатия плоским изгибом (рис. 28,6). Опасное сечение - сечение посередине балки, опас­ные точки - точки, лежащие на стороне ВС. В опасной точке – линейное напряженное состояние.

Напряжение в любой точке

Нейтральная ось проходит параллельно оси Z и смещена от нее на расстояние У₀.

3. Брус (рис. 28в) испытывает внецентральное растяжение, которое раскладываем на два простых: центральное и два плоских изгиба (относителъно осей У и Z).

Задача 14. Определить допускаемое значение силы Р, действующей на брус высотой l= 2m, d=160 mm (рис. 29). Угол =30. Допускаемое напряжение для материала бруса []=100МПа.

Рис. 29

Решение

1. Представим сложную деформацию в виде суммы простых видов деформаций, для чего нагрузку Р спроецируем на оси Z и Y. Рис. 29а.

; ;

Сила Р_Z создает внецентренное сжатие – сложную деформацию, которую раскладываем на центральное сжатие под действием силы Р_Z и плоский изшиб под действием пары сил Р_Z.

Сила Р_У создает сложную деформацию – изгиб с кручением. Под действием силы Р_У создается плоский изгиб, под действием пары сил Р_У-Р_У лежащих в плоскости сечения бруса –кручение.

2. Определим опасное сечение бруса. Для этого построимэпюры внутренних силовых факторов:

N= Р_Z . - продольной силы;

M_Y= Р_Zd/2 - изгибающего момента относительно оси Z от силы Р_Z

М_X изгибающего момента относительно оси Х от силы Р_У

M_К= Р_Уd/2 - крутящего момента от силы Р

3. Определим опасную точку опасного сечения (опасное сечение - сечение в заделке).

В сечении возникают нормальные напряжения от N, М, M_Х. касательные напряже­ния от M_K.

Рис. 30

Если опасную точку попытаться определить то знакам напряженийот каждой деформации и, то получаем две точ­ки С и А (рис. 30). Heобхoдимо выяснить какая на них опаснее. Поэтому определим ноловение нейтральной оси и точко укажем опасную точку.

Для нейтральной оси:

Уравнение нейтральной оси

Х_о + 43,5 У_о =-62.83.

При X₀=0

У₀=62.83/43.5=1,44 мм;

при У_о=0

X₀=62,8°.

По полученным X₀ и У_о строим нейтральную ось (рис. 30). В результате построения нейтральной оси получаем опасную точ­ку - точку С.

4. В опасной точке напряженное состояние элемента - плоское, тогда условие прочности записываем в виде.

_ЭКВ <=[]

Воспользуемся,к примеру, 3 теорией прочности:

где

Подставляя значение величин, получаем

P<=1.4910⁶ H

Принято: Р= 1490 кН.