Лабораторная работа № 6 Интерполирование функций

Пусть на плоскости заданы точки (х₀, y₀), (х₁, у₁), ...…, (х_n, y_n). Требуется построить полином степени n, график которого проходил бы через них. Эту задачу решает полином Лагранжа, который определяется формулой

Остаточный член полинома имеет вид

Для него справедливы соотношения L_n (x_i) = y_i (i = 0, 1, ...…, n).

Если x_i = x₀ + ih (i = 0, 1, ...…, n), то поставленную задачу также решает первая интерполяционная формула Ньютона, которая записывается в следующем виде:

где при

Для n = 2 интерполяционная формула Ньютона имеет вид

.

Конечные разности определяются таким образом:

y_i = y_i+1– y_i, ⁿy_i = (^n-1 y_i) при n > 1.

Для вычисления конечных разностей можно данные занести в горизонтальную таблицу конечных разностей (табл. 1).

Таблица 1

xi	yi	yi	2yi	3yi
x0 x1 x2 x3	y0 y1 y2 y3	y0 y1 y2	2y0 2y1	3y0

Задание. В табл. 2 приведены значения функции, где k – номер фамилии студента в журнале преподавателя. По этим данным построить L₂(x) и p₂(x). Вычислить L₂(1,5) и p₂(1,5). Сравнить результаты.

Таблица 2

xi	1	2	3
yi	1 + 0,1k	2,5 + 0,12k	3 + 0,15k

Лабораторная работа № 7 Интерполирование функций двух переменных

Пусть имеется некоторая функция z = f(x, y) и известны ее значения в четырех точках, являющихся вершинами некоторого прямоугольника. Требуется найти приближенное значение функции в некоторой внутренней точке этого прямоугольника (рис. 1).

z₁ z₂

s3	s4 z
s2	s1

z₄ z₃

     Рис. 1

Произведем интерполяцию функции с помощью многочлена

p₂(x, y) = a₀ + a₁x + a₂y + a₃xy.

Коэффициенты а₀, а₁, а₂, а₃ определяются из условий:

p₂(x_i, y_j) = z(x_i, y_j) (i, j = 0, 1).

Если положить z(x, y) = p₂(x, y), то для определения значения z(x, y) можно поступить следующим образом. Через точку (x, y) проводим две прямые, параллельные сторонам прямоугольника, которые разбивают исходный прямоугольник на четыре с площадями s₁, s₂, s₃, s₄. Пусть

s = s₁+ s₂ + s₃ + s₄. Тогда

Пример. Заданы четыре значения функции: z(12; 30) = 2,0921; z(12; 40) = 2,0035; z(15; 30) = 2,0148; z(15;40) = 1,9245. Требуется найти значение функции в точке (14; 34).

Решение. Изобразим исходные данные на рис. 2. В нашем случае s = 30. Имеем

Задание. Заданы значения функции в четырех точках: z(1; 3) =

= 3+0,1k; z(1; 6) = 4 + 0,2k; z(3; 3) = 5+ 0,1k; z(3; 6)= 7+ 0,2k где k – номер фамилии студента в журнале преподавателя. Вычислить z(1,5 + 0,02k;4 + 0,03k).

z₁ = 2,0035 z₂ = 1,9245

40 s3 = 12 34	s4 = 6 z
s2 = 8 30	s1 = 4

z₄₌2,0921 z₃ = 2,0148

12 14 15

Рис. 2