![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Лабораторная работа № 1
- •Варианты заданий
- •Лабораторная работа № 2
- •Лабораторная работа № 3
- •Лабораторная работа № 6 Интерполирование функций
- •Лабораторная работа № 7 Интерполирование функций двух переменных
- •Лабораторная работа № 8 Метод золотого сечения
- •Лабораторная работа № 9 Метод Куммера
- •Варианты заданий
- •Лабораторная работа № 10 Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона Пусть задана система двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными
- •Лабораторная работа № 11 Решение систем нелинейных уравнений методом итерации
- •Лабораторная работа № 12 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •Лабораторная работа № 13 Метод прогонки
- •Варианты заданий
- •Варианты заданий
- •Лабораторная работа № 20 Метод Милна
- •Лабораторная работа № 21 Метод Адамса
- •Лабораторная работа № 23 Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге—Кутта
- •Лабораторная работа № 24 Задача линейного программирования
- •Лабораторная работа № 25 Транспортная задача
- •Лабораторная работа № 26 Метод наискорейшего спуска
- •Лабораторная работа № 27 Метод дробления шага
- •Лабораторная работа № 28 Метод покоординатного спуска
- •Лабораторная работа № 29 Метод случайного поиска
- •Лабораторная работа № 30 Эмпирические формулы. Линейная зависимость
- •Лабораторная работа № 31 Решение краевой задачи методом сеток
- •Лабораторная работа № 35 Динамическое программирование
- •Корни нелинейных уравнений
- •Интерполирование функций
- •Двумерная интерполяция
- •Метод золотого сечения (лабораторная работа № 8)
- •Решение систем нелинейных уравнений (лабораторные работы №10— 11)
- •Решение систем линейных уравнений
- •Решение систем линейных уравнений методом прогонки
- •Приближенные значения интегралов
- •Приближенные решения системы дифференциальных уравнений
- •Задача линейного программирования
- •Максимальная прибыль
- •Транспортная задача
- •Значения функции в точке минимума
- •Динамическое программирование
- •Список литературы
Варианты заданий
1)
cos x
- 4x
= 0 , 16)
e
–x
-
+ 1,5 = 0,
2)
x
lnx
- 14 = 0, 17)
e
–2x
-
+ 1,8 = 0,
3) 10x - e-x = 0, 18) cos x - x 3 = 0,
4)
lnx
-
= 0, 19) e
–x
-
2,6x
+ 4,3 = 0,
5)
lnx -
= 0, 20)
6) x 2x + x - 3,1 = 0, 21) ex - x 2 + 1,7 = 0,
7) ex + 3x - 4,2 = 0, 22) x lnx - 5,3 = 0,
8) ex +2,4x - 3,7 = 0, 23) x2 lnx - 4,9 = 0,
9) cosx –3,6x +1,2 = 0, 24) x3 - 3x2 + 7,5x + 1,7 = 0,
10) sinx - 2,3x - 2,8 = 0, 25) x3 - 2,5x2 + 9,3x - 4,3 = 0,
11) sin2x + 5,2x + 0,3 = 0, 26) x lgx – 7,2 = 0,
12) e 1,5x +3x - 4,5 = 0, 27) x2 lgx – 3,8 = 0,
13) xlnx – 3,2 = 0, 28) e x - x2 - 3,4 = 0,
14)
x3
-
2x2
+
3x
– 5 = 0 29) e-3x
-
+2,3 = 0,
15) sin3x - 2,5x + 6,2 = 0, 30) e –x - 3,4x + 5,7 = 0.
Лабораторная работа № 2
Метод хорд
Если корень находится в интервале [a,b], то для нахождения очередного приближения корня методом хорд этот интервал делят в отношении |f(a)|: |f(в)|. Тогда приближенное значение корня определится по формуле:
.
(5)
Выбирается тот из интервалов [a,x] или [х,b], в котором функция меняет свой знак, и процесс уточнения корня повторяется. Оценка точности вычисления корня дается следующей теоремой [1].
Теорема.
Пусть
— точный, а
— приближенный корни уравнения f(x)
= 0, находящиеся на одном и том же отрезке
[a,b],
причем
|f
'(x)|
m1
>
>0
при
x
[a,b].
В этом случае справедлива оценка
(6)
Оценку (6) можно использовать при любом приближенном способе решения уравнения (1). Точность вычисления корня по методу хорд можно определить, если известны два последовательных приближения корня. В этом случае справедлива оценка
(7)
при условии, что f ' (x) сохраняет знак в интервале [a,b], причем
0 < m1 |f '(x)| M1 < . (8)
При использовании неравенства (7) для оценки точности вычисления корня итерации по методу хорд нужно прекратить в том случае, когда выполнится неравенство
(9)
В неравенстве (9) используются значения m1 и M1, которые можно определить как
m1
=
(10)
M1
=
(11)
Пример. Пусть задано уравнение (2).
Решение.
Значит, f(x)
= 2x
+
4x
- 3. Тогда
Функция
всюду положительная и монотонно
возрастающая. В этом случае
m1
=
f
' (0)
=
4,693;
M1
=
=
5,387. Если взять
= 0,0001, то условие (9) окончания итераций
будет иметь вид
|xn
– xn-1|
<
0,0001.
Задание. Для одного из уравнений, приведенных в лабораторной работе № 1, методом хорд вычислить значение корня с точностью = 0,0001.
Лабораторная работа № 3
Метод Ньютона (метод касательных)
Уточнение корня (1) методом Ньютона производится по формуле
xn+1
=
xn
-
(n
= 0,1,…
...).
Предполагается,
что корень уравнения находится в сегменте
[а,b],
в котором
и
непрерывны и сохраняют определенные
знаки. Если за начальное значение х0
выбрана такая точка сегмента [а,b],
в которой
то методом Ньютона можно найти корень
с любой степенью точности. Для определения
точности вычисления корня можно
использовать оценку (6).
Пример. Пусть задано уравнение (2).
Решение.
Корень находится в сегменте [0,1], f(0)
< 0,
f
(1)>0,
=2x ln22
> 0. Тогда при решении уравнения (2)
методом Ньютона за начальное приближение
можно взять точку х0
=
1.
Задание. Методом Ньютона решить одно из уравнений, приведенных в лабораторной работе № 1, с точноcтью = 0,0001.
Лабораторная работа № 4
Видоизмененный метод Ньютона
В
том случае, когда
мало изменяется в сегменте [a,b],
можно положить
=
.
Тогда формулу Ньютона можно записать
так:
xn+1
=
xn
-
(n
= 0,1,…
...).
Правило выбора начального приближения х0 такое же, как и в методе Ньютона. Из неравенства (6) следует, что условием окончания итераций по видоизмененному методу Ньютона является
(12)
Задание. Видоизмененным методом Ньютона решить одно из уравне-ний, приведенных в лабораторной работе № 1, с точноcтью = 0,0001.
Лабораторная работа № 5
Метод итерации
При методе итерации исходное уравнение (1) заменяется равносильным х = (х), а итерационный процесс уточнения корня описывается формулой
xn+1 = (хn) (n = 0,1,2,… ...). (13)
Существует бесконечное множество способов выбора функции (х). Нужно выбрать такую функцию (х), чтобы процесс итерации являлся сходящимся. Достаточные условия сходимости задаются теоремой.
Теорема. Пусть функция (х) определена и дифференцируема на отрезке [а,b], причем при х[а,b] (х)[а,b]. Тогда если существует такое число q, для которого |(х) q < 1 при х [а,b], то
1) процесс итерации сходится независимо от начального значения х0 [а,b];
2) предельное значение = lim xn при n является единственным корнем уравнения на отрезке [a,b].
Для определения точности вычисления корня можно воспользоваться следующей оценкой:
(14)
Из оценки неравенства (14) следует условие прекращения итераций
.
Пример. Пусть задано уравнение 2х + 4х – 3 = 0. Корень [0,1].
Решение.
Запишем
уравнение в виде
.
В таком случае
.
Эта функция является монотонно убывающей.
Имеем (0)
= 0,5;
(1)
= 0,25. Поэтому (х)[0,1]
при х[0,1].
Производная '(x)
= -
ln2.
Тогда max '(x)
= -'(1)
0,347
при
x[0,1].
В
этом примере q
0,347, условия теоремы о сходимости метода
итераций выполняются, если будем их
производить по формуле
За начальное приближение х0
можно взять любое значение из сегмента
[0,1], например х0
=
0,5.
Уравнение
(2) можно также записать в виде
В этом случае
а тогда
Для этой функции условия о сходимости
метода не выполняются, а поэтому процесс
итераций может не сойтись.
Задание. Методом итерации решить одно из уравнений, приведенных в лабораторной работе № 1, с точночтью = 0,0001.