Лабораторная работа № 30 Эмпирические формулы. Линейная зависимость

Пусть заданы значения некоторой функции y_i = f(x_i) в точках x₁,x₂,…...,x_n. Требуется сгладить функцию с помощью линейной функции . В качестве меры отклонения принимают величину

Ф(а, b) = ²

и параметры a и b находят из условия обращения в минимум этой величины. Для этого частные производные от Ф(а,b) приравнивают к нулю и полученную систему уравнений решают относительно а и b, в результате чего получают:

, (25)

. (26)

При программировании формул (25) и (26) можно ввести вспомогательные переменные:

,

,

.

Тогда формулы (25) и (26) запишутся в следующем виде:

Задание. Сгладить эмпирические данные, рассчитанные по формуле y_i = (1 + 0,1k)x_i + 0,2k + R_i – 0,05, где k – номер фамилии студента в журнале преподавателя; x_i = 0,2 (i - 1) + 1, (i = 1, 2,…...,26), R_i – случайное число, получаемое с помощью генератора случайных чисел (R_i (0; 1)).

Вычислить значения a и b. На экран дисплея вывести значения x_i, y_i,, , (i = 1, 2,..., 26). Эти данные расположить в четыре столбца. Кроме этого, вывести значения параметров а и b. Эти значения приближенно должны быть равны: a = 1+0,1k; b = 0,2k.

Лабораторная работа № 31 Решение краевой задачи методом сеток

Пусть задана двухточечная линейная задача

L[y] =+ p(x)+ q(x)y = f(x). (27)

Решение нужно найти в интервале [а, b]. На границах интервала заданы условия:

(28)

Решение этой задачи сведем к решению системы конечно-разностных уравнений. Для этого разобьем интервал [а, b] на n равных частей длины h, где . В этом случае x_i = x₀ + + ih (i = 0, 1, …..., n), x₀ = a, x_n = b. Заменим производные во внутренних узловых точках по формулам:

(i = 1, 2, ...…, n-1)

Для граничных точек формулы будут такими:

Подставляя эти значения в уравнение (27) и граничные ус­ловия (28), получим:

Таким образом, получена система из n + 1 линейного уравнения с n + 1 неизвестными. Неизвестными являются y₀, y₁, ..., y_n. Значения p_i = p(x_i), q_i = q(x_i), f_i = f(x_i) известны. Матрица системы является почти трехдиагональной. В первой и последней строках имеется не по два, а по три отличных от нуля элемента. “Лишние” элементы из этих строк можно исключить, и тогда полученная матрица будет трехдиагональной, а поэтому для решения системы можно применить метод прогонки.

Задание. Методом конечных разностей решить следующую кра­евую задачу:

где k – номер фамилии студента в журнале преподавателя. Задачу решить сначала с шагом h = 0,1 и получить значения y_i (i = 0, 1…,..., 10), а затем с шагом h = 0,05 и получить значения z_i (i = 0, 1, …..., 20). Вычислить значения _i = y_i – z_2i (i = 0, 1, ...…, 10). На печать выдать результаты в пять столбцов: i, x_i, y_i, z_2i, _i (i = 0, 1,...…, 10). При правильном решении задачи значения _i должны быть близки к нулю.

Лабораторная работа № 32

Решение краевой задачи методом коллокации

Пусть задано уравнение (27) с краевым условием (28). Выбираем некоторую систему функций которые удовлетворяют условиям:

Приближенное решение задачи ищем в виде суммы

(29)

В этом случае имеем Г_а[y] = A, Г_b[y] = B. Погрешность решения определяется формулой

(30)

Метод коллокации заключается в том, что в интервале [a, b] вы­бирается n точек a  x₁ < x₂ < ... …< x_n  b (точки коллокации) и па­раметры c₁, c₂, …..., c_n находятся из решения следующей системы:

R (x_i, c₁, c₂,…...,c_n) = 0 (i = 1, 2, …..., n).

Приближенное решение (29) в точках коллокации совпадает с точным.

Пример. Методом коллокации решить следующую краевую задачу:

+ (1 + x²)y = -1; y(1) = 0.

Решение. Здесь А = В = 0. Поэтому возьмем u₀(x) = 0. В ка­чест­ве других базисных функций возьмем = x^2i-2(1 – x²), (1) = 0, (i =1, 2, ..., n). Возьмем n = 2. Будем иметь u₁(x)= = 1 – x², u₂(x) = x² – x⁴, Подставляя вместо u₁(x) и u₂(x) их значения и приводя подобные члены, получим:

y(x) = c₁ + (c₂ – c₁)x² – c₂x⁴,

       2(c₂ – c₁) – 12c₂x²,

                   R(x, c₁, c₂) = L[y] –f(x) = L[y] +1.

Подставляя в исходное уравнение вместо их значения и приводя подобные члены, получаем:

R(x,c₁, c₂) = (2c₂ – c₁ +1) – 11c₂x² – c₁x⁴ – c₂x⁶.

В качестве точек коллокации возьмем x₁= 0, x₂ = . Будем иметь систему уравнений:

Производя некоторые преобразования, получим:

Решая эту систему, находим:

Приближенное решение задачи имеет вид

y(x) = 0, 95676 – 0, 97838x² + 0, 02162x⁴.

В частности y(0) = 0, 95676.

Задание. Методом коллокации решить краевую задачу:

+ x+ y = 2x, y(0) = k, y(1) = 0,

где k ­ номер фамилии студента в журнале преподавателя. Взять u₀(x) = k(1 - x), u₁(x) = x – x², u₂(x) = x² – x³. Точками коллокации являются x₁ = 0,25, x₂ = 0,75. Решение задачи искать в виде

y(x) = u₀(x) + c₁ u₁(x) + c₂u₂(x).

После определения c₁ и c₂, вычислить y(0, 5).

Лабораторная работа № 33

Решение краевой задачи интегральным методом наименьших квадратов

Постановка задачи и начало решения приведены в лабораторной работе № 32. В интегральном методе наименьших квадратов параметры c₁, c₂, ...…, c_n определяются из условия обращения в минимум величины

Необходимым условием обращения в минимум I(c₁, c₂, ...…, c_n) является

.

Решая полученную систему из n уравнений, находим значения c₁, c₂,…..., c_n, а также приближенное решение

Пример. Интегральным методом наименьших квадратов решить следующую краевую задачу:

+ (1 + x²)y = -1; y(1) = 0.

Решение. Решение ищем в виде

y(x) = c₁(1 – x²) + c₂(x² – x⁴).

В этом случае

R(x, c₁, c₂) = (2c₂ – c₁ +1) – 11c₂x² – c₁x⁴ – c₂x⁶.

Тогда

Взяв частные производные от I(c₁, c₂) и прировняв их к нулю, после арифметических преобразований получим:

Решая полученную систему из двух линейных уравнений, получим:

c₁ = 0,93272 , c₂ = -0,06818.

Приближенное решение имеет вид

y(x) = 0,93272 – 1, 00090x² + 0,06818x⁴.

В частности, y(0) = 0,93272.

Задание. Интегральным методом наименьших квадратов решить краевую задачу:

+ x+y = 2x, y(0) = k, y(1) = 0,

где k – номер фамилии студента в журнале преподавателя. Взять u₀(x) = k(1 - x), u₁(x) = x – x², u₂(x) = x² – x³. Решение задачи искать в виде y(x) = u₀(x) + c₁u₁(x) + c₂u₂(x). После определения c₁ и c₂, вычислить y(0, 5).

Лабораторная работа № 34

Решение краевой задачи методом Галеркина

Этот метод применяется для решения краевой задачи. Пусть задана задача, описанная в лабораторной работе № 32. Решение также ищется в виде

Здесь параметры c₁, c₂, …..., c_n определяются из системы уравнений:

Пример. Методом Галеркина решить следующую краевую за­да­чу:

+ (1 + x²)y = -1; y(1) = 0.

Решение. Приближенное решение будем искать в виде y(x) = c₁(1 – x²) +c₂(x²–x⁴). Тогда R(x,c₁,c₂)=(2c₂–c₁+1)–11c₂x² – c₁x⁴ – c₂x⁶. Имеем систему уравнений:

Взяв интегралы и выполнив некоторые преобразования, получим:

Решив эту систему, найдем: c₁ = 0,93344; c₂ = 0, 05433. Ре­ше­ние будет иметь вид y(x) = 0,93344 – 0,98777x² + 0,05433x⁴. В частности, y(0) = 0, 93344.

Задание. Методом Галеркина решить следующую краевую задачу:

+ x+y = 2x, y(0) = k, y(1) = 0,

где k – номер фамилии студента в журнале преподавателя. Взять u₀(x) = k(1 - x), u₁(x) = x – x², u₂(x) = x² – x³. Решение задачи искать в виде y(x) = u₀(x) + c₁ u₁(x) + c₂u₂(x). После определения c₁ и c₂, вычислить y(0, 5).