- •Тема 7. Коды Рида- Соломона (рс)
- •7.1. Определение и основные свойства
- •Пример 7.1
- •Пример 7.2
- •7.1.1. Расширенные рс-коды
- •Пример 7.3
- •7.1.2. Укороченные рс-коды
- •7.1.3. Отображение рс-кодов над gf(2m) на двоичные коды
- •7.1.4. Способы кодирования и декодирования рс-кодов
- •1. Многочлен локаторов ошибок:
- •2.Синдромный многочлен
- •3. Многочлен значений ошибок
- •7.2. Быстрое декодирование кодов бчх
- •7.2.1. Ключевое уравнение
- •7.2.2. Решение ключевого уравнения
- •7.2.3. Примеры решения ключевого уравнения
- •7.3.Кодирование на основе решения ключевого уравнения
- •7.4.Задачи
- •Тема 8. Непрерывные коды
- •8.1. Сверточное кодирование
- •8.2. Представление сверточного кодера
- •8.2.1. Представление связи
- •8.2.1.1. Реакция кодера на импульсное возмущение
- •8.2.1.2. Полиномиальное представление
- •8.2.2. Представление состояния и диаграмма состояний
- •8.2.3. Древовидные диаграммы
- •8.2.4. Решетчатая диаграмма
- •8.3. Формулировка задачи сверточного декодирования
- •8.3.1. Алгоритм сверточного декодирования Витерби
- •8.3.2. Пример сверточного декодирования Витерби
- •8.3.2.1. Процедура сложения, сравнения и выбора
- •8.3.2.2. Вид процедуры сложения, сравнения и выбора на решетке
- •8.3.3. Память путей и синхронизация
- •8.4. Свойства сверточных кодов
- •8.4.1. Пространственные характеристики сверточных кодов
- •8.4.1.1. Возможности сверточного кода в коррекции ошибок
- •8.4.2. Систематические и несистематические сверточные коды
- •8.4.3. Распространение катастрофических ошибок в сверточных кодах
- •8.4.4. Границы рабочих характеристик сверточных кодов
- •8.4.5. Эффективность кодирования
- •8.4.6. Наиболее известные сверточные коды
- •8.5. Задачи
- •Тема 9. Некоторые специальные классы кодов. Составные коды
- •9.1. Коды для исправления пачек ошибок
- •9.2. Коды на основе последовательностей максимальной длины
- •9.3. Коды для асимметричных каналов
- •9.3.1. Коды с постоянным весом
- •9.3.2. Коды Бергера
- •9.4 Каскадные коды
- •9.4.1. Принципы построения каскадных кодов
- •9.4.2. Режимы использования каскадных кодов
- •9.4.3. Построение двоичных каскадных кодов на основе кодов Рида–Соломона и Боуза–Чоудхури–Хоквингема
- •Пример 9.2.
- •Пример 9.3.
- •9.5. Задачи
- •Тема 10. Цикловая синхронизация
- •Назначение и классификация способов цикловой синхронизации
- •10.2. Способ установки фазы приемного распределителя путем сдвига.
- •10.3. Способ мгновенной установки фазы
- •10.3.1. Маркерный способ цикловой синхронизации на основе синхронизирующих кодовых последовательностей
- •10.4 . Способ выделения сигнала фазового запуска по зачетному отрезку
- •Тема 11. Системные методы защиты от ошибок без обратной связи
- •11.1. Классификация и основные характеристики систем повышения достоверности
- •11.1.1. Теоретические основы системных методов защиты от ошибок
- •11.1.2. Классификация системных методов защиты от ошибок
- •11.1.3 .Основные параметры и характеристики систем повышения достоверности
- •11.2. Методы повышения достоверности в однонаправленных системах
- •11.2.1.Однонаправленные системы с многократным повторением сообщений
- •11.2.2.Однонаправленные системы с исправляющим ошибки кодом
- •11.2.3.Однонаправленные системы с исправлением стираний
- •11.3. Задачи
- •Тема 12. Системные методы защиты от ошибок с обратной связью
- •12.1. Системы повышения достоверности с решающей обратной связью с непрерывной последовательной передачей сообщений и блокировкой (рос-пПбл).Общие положения
- •12.2. Описание работы системы рос-пПбл
- •12.3. Режим переспроса
- •12.4. Расчет параметров системы рос-пПбл Относительная скорость передачи
- •Расчет вероятности ошибок на выходе системы
- •Расчет времени доведения сообщений
- •Расчет емкости накопителя-повторителя
- •12.5. Рекомендации по выбору оптимального кода Расчет оптимальных характеристик помехоустойчивого кода
- •Охарактеризуем поток ошибок, пропущенных в приемник сообщений средней вероятностью ошибки на бит, равной и показателем группирования ошибок.
- •12.6. Выбор порождающего многочлена
- •12.7. Задачи
- •Тема 1. Основные понятия и определения в области пдс…………………………………..…...2
- •Тема 2. Системные характеристики систем передачи дискретных сообщений………………..11
- •Тема 3. Основные характеристики уровня дискретного канала пдс……………………...……21
- •Тема 4. Устройство синхронизации по элементам (усп)……………………………………….50
- •Тема 5. Линейные (n,k)-коды…….…………………………………………………………………..54
- •Тема 6. Двоичные циклические (n,k) – коды…………………………………………………… 105
- •Тема 7. Коды Рида- Соломона (рс)…………………………………………..…………………..165
- •7.1. Определение и основные свойства………………….…………………….……………...165
- •7.1.3. Отображение рс-кодов над gf(2m) на двоичные коды……………………………….170
- •Тема 8. Непрерывные коды……………………………………………...……………………….185
- •Тема 9. Некоторые специальные классы кодов. Составные коды………………………………210
- •9.4.1. Принципы построения каскадных кодов……………………………………………………………215
- •9.4.2. Режимы использования каскадных кодов…………………………………………………………..218
- •9.4.3. Построение двоичных каскадных кодов на основе кодов Рида–Соломона и Боуза–Чоудхури–Хоквингема………………..………………………………………………..…………………………………219
- •Тема10. Цикловая синхронизация……………………………...…………………………………………222
- •Тема 11. Системные методы защиты от ошибок без обратной связи………………………………..…234
- •Тема 12. Системные методы защиты от ошибок с обратной связью…..…………………….…...244
7.3.Кодирование на основе решения ключевого уравнения
Процедура кодирования строится на основе процедуры декодирования в предположении, что известны все информационные символы кодовой комбинации, а избыточные символы стерты, т. е. в кодовой комбинации имеет место n – k стираний. Для организации процедуры кодирования избыточным символам приписываются нулевые значения. Процедура кодирования строится по алгоритму быстрого декодирования РС-кодов и содержит следующие этапы:
Вычисление корней порождающего многочлена, если они не заданы.
Вычисление синдромного многочлена.
Вычисление многочлена локаторов стираний.
Вычисление многочлена значений стираний.
Вычисление значений избыточных символов.
Пример 7.8.
Рассмотрим процесс кодирования для кода Рида-Соломона (7,3) с порождающим многочленом
g(x)=(x+α)(x+α2)(x+α3)(x+α4)=α3+α1x+α0x2+α3x3+x4, рассмотренного в предыдущем примере.
Пусть необходимо найти избыточные элементы для комбинации, содержащей на местах информационных элементов х4 ,т.е. кодовая комбинация со стертыми избыточными элементами имеет вид f′(x) = x4.
Решение:
Вычисление корней порождающего многочлена
Порождающий многочлен известен. Его корнями являются элементы поля GF(23):α,α 2,α3и α4.
.Вычисление синдромного многочлена S(x)
S(x) = S1 + S2x + S3x2 + S4x3 . Здесь Si= f′(x= αi) = (αi)4, где αi - элемент GF(23),являющийся корнем порождающего многочлена рассматриваемого кода, т.е. i = 1,2,3,4
Находим: S1= (α1)4 = α4 , S2= (α2)4= α8 = α, S3= (α3)4= α12 = α5, S4 = (α4)4 = α16 = α2.
Таким образом, S(x) = α4 + αx + α5x2 + α2x3.
Вычисление многочлена локаторов стираний Г(х)
Локаторы стираний: α0 , α1 , α2 , α3 и Г(х)= (1+ α0х) (1+ α1х) (1+ α2х) (1+ α3х) = 1+ α2х + +α5 x2 + α5x3 + α6x4. Производная от Г(х): Г′(х)= α2 + α5x2.
Вычисление многочлена значений стираний Ω(х)
Ω(х) = S(x) Г(х)(modx2t) = (α4 + αx + α5x2 + α2x3)( 1+ α2х + α5 x2 + α5x3 + α6x4) )(modx4) =
= α4 + α5x + α2x3.
Вычисление избыточных элементов
f 0 = == α3, f 1 = == α , f 2 = == 1,
f 3 = == α3 .
Итак, искомая кодовая комбинация кода Рида-Соломона (7,3) имеет вид
f(x)=α3+α1x+α0x2+α3x3+x4, что в точности соответствует порождающему многочлену кода.
7.4.Задачи
1. Построить кодирующее устройство для укороченного циклического кода (10,5) с и проследить по тактам процесс формирования избыточных элементов для какой-либо комбинации. Результат проверить алгебраически.
2. Построить устройство обнаружения ошибок (схему вычисления синдрома) для укороченного (10,5) – кода с .
3. С помощью схемы вычисления синдрома предыдущей задачи определить принадлежность комбинаций и коду (10,5).
4. Построить кодирующее устройство для кода (15,5) с .
5. Построить генератор последовательности длины 7 и получить эту последовательность.
6. Построить кодирующее устройство для кода Рида-Соломона (7,5) на основе схемы рис 6.10.
7. Построить генератор элементов поля GF(24)
8. Построить генератор элементов поля GF(25)
9. Закодировать α0 = 1 (элемент поля GF(23)) кодом Рида-Соломона (7,5) , используя процедуру быстрого декодирования.
10.Построить проверочную и порождающую матрицы кода Рида-Соломона (7,5) с помощью схемы деления на порождающий многочлен g(x)=α3+α1x+α0x2+α3x3+x4.