8.4.4. Границы рабочих характеристик сверточных кодов

Можно показать, что вероятность битовой ошибки Р_B в бинарном сверточном ко­де, использующем при декодировании жесткую схему принятия решений, может быть ограничена сверху следующим образом:

где р — вероятность ошибки в канальном символе. Для кодера, приведенного на рис. 8.3, T(D, N) получено из T{D, L, N) путем задания L= 1.

и

Подставляя полученное значение для dT(D, N)/dN при N=1 в выражение для Р_В, можем записать следующее:

Можно показать, что при когерентной модуляции BPSK в канале с аддитивным белым гауссовым шумом (additive white Gaussian noise — AWGN) вероятность битовой ошибки ограничивается следующей величиной:

где:

E_с/N₀ = rE_b/N₀,

E_b/N₀, — отношение энергии информационного бита к спектральной плотности

мощности шума,

E_с/N₀ — отношение энергии канального символа к спектральной плотности мощности шума, r = r=k/n — степень кодирования,

Следователь­но, для кода со степенью кодирования 1/2 и просветом d_f=5, при использовании ко­герентной схемы BPSK и жесткой схемы принятия решений при декодировании, мо­жем записать следующее:

8.4.5. Эффективность кодирования

Эффективность кодирования, определяется как умень­шение (обычно выраженное в децибелах) отношения E_b/N₀, требуемого для достижения определенной вероятности появления ошибок в кодированной системе, по сравнению с некодированной системой с той же модуляцией и характеристиками канала. В табл. 8.2 перечислены верхние границы эффективности кодирования. Они сравниваются с некодированным сигналом с когерентной модуляцией BPSK для нескольких значений мини­мальных просветов сверточного кода. Длина кодового ограничения в гауссовом канале с жесткой схемой принятия решений при декодировании изменяется от 3 до 9. В таблице отражен тот факт, что даже при использовании простого сверточного кода можно достичь значительной эффективности кодирования. Реальная эффективность кодирования будет изменяться в зависимости от требуемой вероятности битовых ошибок .

В табл. 8.3 приводятся оценки эффективности кодов, сравниваемые с некодированным сигналом с когерентной модуляцией BPSK, реализованной аппаратным путем или путем моделирования на компьютере, в гауссовом канале с мягкой схемой приня­тия решений при декодировании . Некодированное значение E_b/N₀ дано в крайнем левом столбце. Из табл. 8.3 можно видеть, что эффективность кодирования возрастает при уменьшении вероятности появления битовой ошибки. Однако эффективность ко­дирования не может возрастать бесконечно. Как показано в таблице, она имеет верх­нюю границу. Эту границу (в децибелах) можно выразить следующим образом:

Эффективность кодирования ≤ 10lg(rd_f)

Здесь r— степень кодирования, a d_f— просвет. При изучении табл. 8.3 обнаруживается также, что (при Р_B = 10^-7) для кодов со степенью кодирования 1/2 и 2/3 более слабые коды имеют тенденцию находиться ближе к верхней границе, чем более мощные коды.

Как правило, декодирование по алгоритму Витерби используется в двоичном канале с жестким или мягким 3-битовым квантованным выходом. Длина кодо­вого ограничения варьируется от 3 до 9, причем степень кодирования кода редко ока­зывается меньше 1/3, и память путей составляет несколько длин кодового ограниче­ния . Памятью путей называется глубина входных битов, которая сохраняется в декодере.

После рассмотрения в разделе 8.3.1 декодирования по алгоритму Витерби может возникнуть вопрос об ограничении объема памяти путей. Из этого примера может показаться, что декодирование кодового слова в любом узле может происходить сразу, как только останется один выживший путь в этом узле. Это действительно так; хотя для создания реального декодера таким способом потребуется большое количест­во постоянных проверок после декодирования кодового слова.

На практике вместо всего этого обеспечивается фиксированная задержка, после которой кодовое слово де­кодируется. Было показано , что информации о происхождении состояния с наименьшей метрикой состояния (с использованием фиксированного объема путей, порядка 4 или 5 длин кодового ограничения) достаточно для получения характеристик декодера, которые для гауссова канала и двоичного симметричного канала BSC на величину порядка 0,1 дБ меньше характеристик оптимального канала.

На рис. 8.19 показаны характерные ре­зультаты моделирования достоверности передачи при декодировании по алгоритму Витерби с жесткой схемой квантования . Заметьте, что каждое увеличение длины кодового ограничения приводит к улучшению требуемого значения E_b/N₀ на величину, равную приблизительно 0,5 дБ, при Р_B = 10^-5.