Пример 7.3

Расширением РС-кода (3,2) с g(x)=x+α и D =2 является РС-код (4,2) с D =3, порождающий многочлен которого равен g(x)(x+1)(x+α)=x²+α²x+α, а порождающая матрица имеет вид

.

7.1.2. Укороченные рс-коды

РС-коды, как и всякие групповые коды, можно укорачивать за счет сокращения числа информационных элементов. Очевидно, что при этом кодовое расстояние укороченного кода остается в точности тем же, что у исходного кода D=N–K+1. В общем случае укороченный РС-код в отличие от исходного не является циклическим.

Существует также способ построения циклического РС-кода над полем GF(q) с длиной кодовой комбинации N<q–1. Рассмотрим, как определяется порождающий многочлен для такого РС-кода. Если α–примитивный элемент GF(q), то его порядок l=q–1 и каждый ненулевой элемент GF(q) может быть найден, как некоторая степень α. Порядок l_s каждого элемента α^s GF(q) является делителем q–1, так как для каждого α^sGF(q) справедливо равенство:

(α^s)^q–1=1.

Пусть в поле GF(q) существует элемент α^s, порядок которого 1<l_s<q–1. Тогда совокупность элементов 1, α^s, α^2s, …, образует подгруппу, которая состоит из всех степеней одного из ее элементов, т.е. является циклической и совместно с нулевым элементом образует подполе поля GF(q), т.е. является корнями многочлена .

Значит справедливо

.>

Таким образом, если в GF(q) существует элемент α^s, порядок которого 1<l_s<-1, то возможно построение циклического РС-кода над GF(q) с длиной кодовой комбинации N=l_s и порождающим многочленом

.

Пример 7.4

В поле GF(2⁸) существует элемент α¹⁵, порядок которого равен l₁₅=17, следовательно, возможен РС-код над GF(2⁸) с N=17.

Другой способ получения укороченных РС-кодов состоит в следующем. В выражении

произведем подстановку xx^m. Тогда получим

.

Можно доказать, что многочлен x^m–α^is принадлежит показателю ml_s, из чего вытекает, что с помощью порождающего многочлена

может быть построен РС-код с N=ml_s, состоящий из m чередующихся кодовых комбинаций РС-кодов длины l_s.

7.1.3. Отображение рс-кодов над gf(2m) на двоичные коды

Элементы GF(q) при q=p^m, как это было рассмотрено выше, могут быть представлены последовательностями длины m с элементами из GF(p). В этом случае (N,K)-код РС с расстоянием D над GF(q) становится (n=mN, k=mK)-кодом над GF(p) с расстоянием dD.

Если q=2^m, то двоичные коды, получаемые таким путем, часто имеют большое минимальное расстояние.

Пусть ξ₁, …, ξ_m–базис элементов поля GF(2^m) над GF(2). Тогда, если – произвольный элемент GF(2^m), где b_i=GF(2), то β отображается в последовательность длины m: b₁, b₂, …, b_m.

Это отображение переводит линейные коды в линейные. При этом циклические коды не обязательно переходят в циклические.

Пример 7.5

Используя базис 1, α для элементов GF(4) над GF(2), получаем отображение 000, 110, α01, α²11. Тогда РС-код (3,2) с D=2 над полем GF(4) примера 5.13 становится двоичным (6,4)-кодом с d= 2, приведенным ниже:

0. 000000 4. 000110 8. 001101 12. 001011

1. 011000 5. 011110 9. 010101 13. 010011

2. 110100 6. 110010 10. 111001 14. 111111

3. 101100 7. 101010 11. 100001 15. 100111

Легко проверить, что данный код не является циклическим.

Пример 7.6

Рассмотрим (7,5) – РС-код над GF(2³) с D = 3 [3]. Поле GF(2³), построенное по модулю П(α)=α+α³+1, содержит следующие элементы:

0 0 0 =0, 1 0 0= 1, 0 1 0 =α, 0 0 1 =α²,

1 1 0 =α³, 0 1 1 =α⁴, 1 1 1 =α ⁵, 1 0 1 =α⁶.

В качестве базиса для элементов GF(2³) над GF(2) возьмем 1,α ,α⁶,

т.е. β =b₁(100)+b₂(010)+b₃(101).

Тогда получим отображение 0000, 1100, α010, α²101, α³110,α ⁴111,α⁵011 ,

α⁶001.

Сформируем порождающий многочлен в виде

g(x)=(x+α⁵)(x+α⁶)=α⁴+αx+x².

При таком построении РС-код (7,5) с=D=3 переходит в двоичный циклический код (21,15) с порождающим многочленом g(x)=1+x+x²+x⁴+x⁶ и минимальным расстоянием d=3. Это единственный известный нетривиальный пример РС-кода, отображаемого в двоичный циклический код.