2. Обернена залежність, її властивості.

Поряд з прямою залежністю між величинами в арифметиці розглядають і величини обернено пропорційні. Наприклад, довжини основи і висоти прямокутника при постійній площі, час і швидкість рівномірного руху при певній відстані.

Залежність між двома величинами , яка виражена рівністю , де - деяке число, відмінне від нуля, називається обернено пропорційною залежністю. Число називають коефіцієнтом пропорційності. Графіком оберненої пропорційності являється гіпербола.

3. Квадратичні функції, їх властивості.

Квадратичною функцією називається функція виду . Її частинний випадок є . Записана функція є парною і графік її симетричний відносно вісі абсцис. Графіком квадратичної називається параболою. Парабола функції має вершину в точці О(0,0).

Графік функції можна отримати, переносячи графік функції в напрямку вісі ординат на одиниць (парабола, яка розташована симетрично відносно вісі ординат і вершина її знаходиться в точці ).

Графік функції можна отримати, переносом графіка функції в напрямку вісі абсцис на одиниць (парабола, розташована симетрично відносно прямої, паралельної вісі ординат і віддаленої від неї на відстані , її вершина знаходиться в точці ).

Графік функції можна отримати з основної параболи: помножити ординати точок параболи на (розтяг або стиск). Якщо , то гілки параболи звернені нагору, якщо - вниз.

Для побудови графіка функції необхідно, по-перше, обчислити вершину параболи за формулами , а ; по-друге, знайти точки перетину параболи з вісями координат і зобразити параболу, гілки якої симетричні відносно прямої паралельної вісі ординат. Побудувати графік функції можна за допомогою перетворень квадратного трьохчлена, виділити в ньому повний квадрат.

Лекція 19. Площа фігури. Об‘єм тіла.

Мета: розглянути поняття довжини відрізку, площі фігури, об‘єму тіл, часу, навчити вимірювати величини, визначати рівновеликі величини і залежності між величинами. Розглянути величини, які вивчають в початковому курсі математики: маса, вартість, швидкість, віддаль. Особливу увагу приділити розвитку навичок переводу одиниць вимірювання і розв‘язання практичних задач.

План:

1. Довжина відрізку і її вимірювання.

2. Площа фігури, способи її вимірювання.

3. Рівновеликі і рівно складені величини.

4. Об‘єм тіла, його вимірювання.

5. Маса, вартість, швидкість, час. Одиниці вимірювання.

6. Залежність між величинами.

1. Довжина відрізку і її вимірювання.

Довжиною відрізка називається додатна величина, яка визначена для кожного відрізку так, що 1) рівні відрізки мають рівні довжини; 2) якщо відрізок складається з скінченого числа відрізків, то його довжина дорівнює сумі довжин цих відрізків.

Розглянемо процес вимірювання для відрізків. З множини відрізків вибирають будь-який відрізок і приймають його за одиницю довжини. На відрізку від одного з його кінців відкладають послідовно відрізки, рівні , до тих пір, поки це можливо. Якщо відрізки, рівні , відкласти раз і кінець останнього співпав з кінцем відрізку , то кажуть, що значення довжини відрізку є натуральне число , і пишуть: . Якщо ж відрізки, рівні , відклались раз і залишився ще залишок, менший , то на ньому відкладають відрізки, які рівні . Процес вимірювання закінчиться, коли довжина відрізку прийме значення дійсного числа . Таким чином було доведено одну з основних властивостей відрізків.

Властивості довжин відрізків:

1. При обраній одиниці довжини довжина будь-якого відрізку виражається додатнім дійсним числом, і для кожного додатного дійсного числа існує відрізок, довжина якого виражається цим числом.

2. Якщо два відрізки рівні, то чисельні значення їх довжин також рівні, і обратно: якщо чисельні значення довжин двох відрізків рівні, то рівні і самі відрізки.

3. Якщо заданий відрізок є сумою декількох відрізків, то чисельне значення його довжини дорівнює сумі чисельних значень довжин відрізків доданків, і обратно: якщо чисельне значення довжини відрізку дорівнює сумі чисельних значень декількох відрізків, то і сам відрізок дорівнює сумі цих відрізків.

4. Якщо довжини відрізків такі, що , де - додатне дійсне число і довжина виміряна за допомогою одиниці , то, щоб знайти чисельне значення довжини при одиниці , достатньо, число помножити на чисельне значення довжини при одиниці .

5. При заміні одиниці довжини чисельне значення довжини збільшиться (зменшиться) у стільки раз, у скільки нова одиниця менша (більша) старої.

6. .

7. .

8. .

Розглянуті властивості дозволяють порівняння відрізків і дії над ними зводити до порівняння і діям над відповідними чисельними значеннями довжин цих відрізків.

В початковому курсі математики довжини відрізків вимірюють, будують відрізки заданої довжини, порівнюють довжини відрізків, виконують дії.