- •Декартовий добуток множин.
- •VIII. Зображення декартового добутку множин на координатній площині
- •2 Семестр
- •Про історію виникнення натурального числа.
- •Порядкові і кількісні натуральні числа. Рахунок.
- •Теоретико – множний зміст кількісного числа і нуля.
- •Додавання. Закони додавання.
- •1. Порівняння.
- •Правила віднімання числа з суми і суми із числа:
- •Поняття відношення подільності.
- •Властивості відношення подільності.
- •Подільність суми, різниці і добутку цілих невід‘ємних чисел.
- •Признаки подільності чисел.
- •Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне.
- •Властивості нсд.
- •Властивості нск.
- •Признаки подільності на складові числа.
- •Знаходження нсд і нск чисел способом розкладу на прості множники.
- •Алгоритм Евкліда.
- •II курс
- •I. Поняття функції.
- •Способи завдання функції.
- •Властивості функції.
- •Графік функції.
- •Лінійні функції, їх властивості і графік.
- •Обернена залежність, її властивості.
- •Квадратичні функції, їх властивості.
- •Довжина відрізку і її вимірювання.
- •Площа фігури, способи її вимірювання.
- •Об‘єм тіла, його вимірювання.
- •Маса, вартість, швидкість, час. Одиниці вимірювання.
- •VI. Залежність між величинами.
- •Числовий вираз і його значення.
- •Вираз зі змінною і його область визначення.
- •Тотожні перетворення виразів.
- •Означення рівняння.
- •Рівносильні рівняння.
- •Властивості рівнянь.
- •Числові Нерівності.
- •2. Основні властивості нерівностей.
- •4 Семестр
- •Геометричні фігури.
- •Кути, їх види, побудова.
- •Признак паралельності прямих.
- •Перпендикуляр до прямої.
-
Поняття відношення подільності.
Як відомо, віднімання і ділення цнч виконується не завжди. Тому математики з давних давен намагалися відшукати такі правила, які б дозволяли за записом числа дізнатися, ділиться воно на інше число чи ні, не виконуючи безпосереднього ділення цих чисел.
Припустимо задані цнч . Якщо при діленні з залишком числа на залишок дорівнює нулю, то число називається дільником числа . З цього означення випливає, що якщо - дільник числа , то існує таке число , що . Термін «дільник» і «дільник числа» потрібно відрізняти. Наприклад, якщо 18 ділять на 5, то 5 – дільник, але не являється дільником числа 18. В тому випадку, коли число - дільник , то говорять, що кратно , і записують . Множина дільників числа скінчена, наприклад, дільники числа 36 : .
В залежності від кількості дільників натуральні числа розподіляють на прості і складові. Простим числом називається таке натуральне число, яке має тільки два дільника – одиницю. І саме це число. Наприклад, 2,3,5,7,11,13,17, 19,23 …. Складовим числом називається таке натуральне число, яке має більше двох дільників. Наприклад, 4,6,8,… Число 1 не являється ні простим, ні складовим.
Чисел, кратних заданому, можна назвати безліч. Наприклад, числа, кратні 4 – 0, 4, 8, 12, 24, 68,…
-
Властивості відношення подільності.
-
Кожне натуральне число ділиться само на себе.
-
для різних чисел із того, що не випливає, що .
-
Із того, що і , випливає, що .
-
-
Подільність суми, різниці і добутку цілих невід‘ємних чисел.
-
теорема про подільність суми. Якщо кожний доданок ділиться на натуральне число , то і сума ділиться на це число. Наприклад, 114+348+908 ділиться на 2? Так як .
-
теорема про подільність різниці. Якщо числа діляться на число і , то їх різниця .
-
теорема про подільність добутку. Якщо один з множників добутку ділиться на число , то і весь добуток ділиться на число . Наприклад, ?. Так як .
-
Якщо в добутку чисел множник ділиться на число , а число на число , то добуток ділиться на добуток . Наприклад, ?. Число , тоді , значить .
-
Якщо в сумі один доданок не ділиться на число , а решта доданків ділиться , то вся сума не ділиться на число . Наприклад, ? Так як число 125 не ділиться на 2, значить вся сума не ділиться на 2.
-
-
Признаки подільності чисел.
Ознака подільності на 2: Для того, щоб число ділилося на 2, необхідно і достатньо, його десятковий запис закінчувався цифрою 0,2,4,6,8.
Ознака подільності на 5: Для того, щоб число ділилося на 5, необхідно і достатньо, його десятковий запис закінчувався цифрою 0 або 5.
Ознака подільності на 4: Для того, щоб число ділилося на 4, необхідно і достатньо, щоб на 4 ділилось двозначне число, яке утворене останніми двома цифрами десяткового запису числа.
Ознака подільності на 3, 9: Для того, щоб число ділилося на 3, 9, необхідно і достатньо, щоб сума цифр його десяткового запису ділилася на 3, 9.
Ознака подільності на 10: Для того, щоб число ділилося на 10, необхідно і достатньо, щоб десятковий запис числа закінчувався цифрою 0.